No.5ベストアンサー
- 回答日時:
リウヴィルは次のことを証明しました。
「log y = F(x,y) においてF(x,y)はx,yを含む代数関数で、yにどのような定数bを与えてもF(x,y)が定数log b に等しくないときは、yはxの初等関数にはならない。」
これにより
exp(-x)=ax
としたとき、xはaの初等関数では表せません.リウヴィルの定理の証明は
黒河龍三;日本数学物理学会誌、第1巻(1927),p.17
にあります。しかしx=f(a)としたとき、
x=1-(e/2)(a-e^-1)+(5e^2/16)(a-e^-1)^2+…
のような式で表されます。
この回答へのお礼
お礼日時:2004/07/12 23:18
>x=f(a)としたとき、
> x=1-(e/2)(a-e^-1)+(5e^2/16)(a-e^-1)^2+…
>のような式で表されます。
質問した価値がありました。質問のあと自分でも調べて同じような解を見つけました。この形が適しているようです。ありがとうございます!
No.4
- 回答日時:
sin(x)=axでaが0に近い場合は次のようにするとよいでしょう。
sin(x)=axのx=0の次に大きい解をx=f(a)としたとき、fはa=0の近傍で滑らかであることは直感的に明らかです。そこでf(a)= f(0) + af'(0) + (a^2/2)f"(0) +…
= π(1 - a + a^2…)
(これが合っているかは検算をお願いします)
こうしてみると、f(a)は初等関数ではないとはいえ、決してaで表せないわけではないことが分かります。
No.3
- 回答日時:
代数関数、指数関数、対数関数およびそれらを有限個組み合わせたものを初等関数と呼びます。
超越方程式の解がどのようなときに初等関数で表せないかはリウヴィルによって研究されています。それによるとx = z - h sin z
としたとき、zはhの初等関数では表せません。
初等関数の有限個の組み合わせでは表せませんが無限個の組み合わせで表すことはできます・
x = (1/a)sin x …(1)
でxの最初の近似値を1/aとして(1)の右辺に代入すると
x ≒ (1/a)sin(1/a)
これを再び(1)の右辺に代入すると
x ≒ (1/a)sin((1/a)sin(1/a))
これを繰り返して
x = …(1/a)sin((1/a)sin((1/a)…)
aが1/2より大きいときはこれが収束して正しい解を与えるようです。この方法で求めた解を書くと
a x
0.5 1.895494
0.6 1.660035
0.7 1.410185
0.8 1.131103
0.9 0.786684
となります。
No.1
- 回答日時:
「解ける」をどう考えるか.
グラフから明らかですが中間値の定理によって解の存在は保証されます.
その存在する解を「一般的な式」で表現可能かどうかは別問題で,これらは表現不能です.
4次方程式までは解の公式(加減乗除と累乗根で表現)はありますが,5次以上は解の公式を作ることが出来ないことが証明されています.(ガロア,アーベル)
しかしn次方程式には(最大で)n個の複素数解が存在することが証明されている(ガウス)ので,公式はなくても5次方程式は最大で5個の解が存在します.
しかしそれを加減乗除と累乗根で一般的には表現できません.頭が悪くて表現できないのではなく,表現できないことが証明されています.
代数方程式ですらそうなのですから,高校の三角方程式,指数・対数方程式は「表現できる問題」しか出題できません.
sin(x)=0.1 の解は x=Arcsin(0.1) と逆正弦関数で表しますが,これで「表現できた」ことになるなら,sin(x)=ax を満たす x を SinChokusenKoten(a) という関数で表して,「sin(x)=ax の解は SinChokusenKoten(a) である」といえばよろしい.(笑)
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