31≧2n(21-4n)…❇︎ これを満たす最小の自然数は5

模範解答で
31≧2n(21-4n)…❇︎
これを満たす最小の自然数は5

❇︎からいきなり答えが出ています。❇︎からすぐ最小の自然数が何故求まるのですか。
模範解答は他の部分はかなり詳しく途中式が書いてあるのにここだけはいきなり答えを書いています。

質問者からの補足コメント

• 12345のうち一番小さいのは1なので1から調べる。
  n=1のとき34＞31
  軸がx=2+(5/8)より2までは増加関数。∴2は確認不要。
  (1+4)/2=2+(1/2)=2+(4/8)だから1と4なら4のほうが頂点に近く大きい。∴4も確認不要。
  4の方から頂点に移動すると考えると3まで増加関数。∴3も確認不要。
  よって5だけ代入して計算。
  
  おかしいところがあると思うのでご指摘ください。

    補足日時：2015/12/25 18:04

• 5だけ2n(21-4n)に代入して31＞10
  よって最小の自然数は5。

    補足日時：2015/12/25 18:14

No.1 回答者： lupan344 回答日時： 2015/12/23 21:47

n=6の場合は、21-4n<0なので、無条件にこの条件式は満たされます。

したがって、最少のn<6となります。
n=4とすると、2×4×(21－4×4)＝8×5＝40>31、したがってn=5が最少になります。
n=5の場合は、2×5×(21－4×5)＝10×1＝10<31

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。しかし単調増加の関数ではないので12345全て確認する必要があるのではないかと考えてしまいます。補足お願いできますでしょうか。

お礼日時：2015/12/23 23:46

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2015/12/23 22:00

y=2x(21-4x)のグラフを描けばすぐわかります。

ただし模範解答としてはもう少し詳しく書くべきです。たまには手を抜きたくなったんでしょう。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。y=31との交点を求めるとかなり複雑な座標になりますがグラフを描けばすぐ求まるのですか。すみませんが補足お願いできますでしょうか。

お礼日時：2015/12/23 22:38

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/12/23 23:53

そんなの試せばかんたんです。

1→2×17=34 →NG
2→4×13=52→NG
3→6x9=54→NG
4→8×5= 40→NG
5→10x1=10→OK

暗算で充分。10秒とかからないと思います。
理屈は不要。途中式など有りません。

この回答へのお礼

グラフより0と21/4の間にあるので12345全て確認しているということですよね。ありがとうございました。

お礼日時：2015/12/24 00:27

No.4 回答者： tekcycle 回答日時： 2015/12/24 00:52

ｙ=２ｘ(２１－４ｘ)

このグラフはｘ＝０と(２１－４ｘ)＝０のときにｘ軸と交わる、下向きの二次曲線ですよね。
この手の二次曲線なんて左右対称に決まってますから、じゃぁ中心のｘ座標はどこなのか。
そこに向けて、左右から値が大きくなっていくわけですよね。
ｘ＝０でｙ＝０、ｘ＝２１／４＝５＋１／４でｙ＝０なのはいいとして、じゃぁその隣の自然数はどうなのか。
ｘ＝１だとどうか、ｘ＝５だとどうか。ｘ＝４だとどうか。
あるいは、ｘ≧２１／４なら３１より小さい以前に０より小さいんで、必ず成立するな、と判っていると楽でしょう。

あるいは、
２ｘ(２１－４ｘ)－３１≦０
の範囲を求めるとか。
ｙ＝２ｘ(２１－４ｘ)－３１
のグラフとｘ軸との交点が、解の公式で出せるでしょう。

片っ端から代入した方が早そうですがね。

この回答へのお礼

解の公式で交点を求めると大変繁雑な座標がでてきますから代入した方が早そうでした。回答ありがとうございました。大変勉強になりました。

お礼日時：2015/12/24 01:13

No.5 回答者： lupan344 回答日時： 2015/12/24 01:01

お礼ありがとうございます。

n=1は試す必要がありますね。
n=1で、2n(21-4n)＝2×17＝34＞31ですから、この2次関数が上に凸である事から、n=2,3の間で最大値を取るので、n=2,3は計算しなくても、31より大きい事は明らかです。

この回答へのお礼

ありがとうございました。しかし頂点は21/8(2と5/8)です。よってn=1の方向から見たとき21/8(2と5/8)までは増加関数なので2のときは確認する必要がないが、3のときは確認する必要があるのではないかと考えてしまいます。(21/8(2と5/8)を超えると関数は減少し始めるため)
どうでしょうか。

お礼日時：2015/12/24 01:22

No.6 回答者： lupan344 回答日時： 2015/12/24 01:48

お礼ありがとうございます。

n=4で40ですから、すくなくともこれは2n(21－4n)の最大値以下です。
n=1で2n(21－4n)は34で、n=4より小さい値ですから、n=1とn=4で挟まれた範囲で最大値を取るとしたら、その間の値は確実に34より大きい値になるはずです。（上に凸の2次関数のグラフを書いてみてください）
もちろん、これはこのグラフだけの事ですから、上に凸の2次方程式の場合は、条件を満たすnを求めて、自然数の場合は、1からと、条件を満たすnから1ずつ減らして試していく必要があります。

この回答へのお礼

理解出来るまで時間がかかってしまいお礼が遅れてしまいました。
よくわかりました。繰り返し説明していただきありがとうございました。
なかなか家庭教師の先生でもここまで根気よく教えていただけることは少ないです。
本当にありがとうございました。

お礼日時：2015/12/25 18:08

No.7 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/12/24 01:52

軸が n=21/8 ってことは, n=2 よりも n=3 に近い ((2+3)/2 = 5/2 < 21/8) わけだ. ここで放物線が軸対称であり, (上に凸なので) 軸に近いほど大きな値になる (これはグラフを念頭におけば容易にわかるはず) ことから, n=2 よりも n=3 の方が大きな値をとる.

同じ理由で n=1 よりも n=4 の方が大きな値になるね.

この回答へのお礼

物凄くよくわかりました。すごいです。ありがとうございました。軸と1のときだけ考えれば良かったのですね。

お礼日時：2015/12/24 02:10