積分

sin^2θやcos^2θを
そのまま積分してはいけない理由を
教えてください

No.3 ベストアンサー 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/01/28 20:49

sin、cosは、基本的に初等関数という「関数」です。

ですので、f(x)=cos^2(x)ならば、∫f(x)dxは原始関数がわかれば解けるという話になる。

cosx=tとして解くならば、dx=-dt/√(1-t^2)の変換が必要。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/01/28 20:17

cos^2(x) = A　　(A)

とおいて、
　∫AdA = (A^2)/2 + C
にどうしてならないのか、とか
cos(x) = B　　(B)
とおいて、
　∫(B^2)dB = (B^3)/3 + C
にどうしてならないのかということですか？
（いずれにしても、画像の式はどのようにして導いたのか全く分かりませんが）

　(A)の場合も、(B)の場合も、
　　dx≠dA, dx≠dB
だからです。勝手に変数を適当に置き換えてはいけません。
　試しにやってみると、
　　dA/dx = -2cos(x)sin(x)
なので
　　dx = -[1/2cos(x)sin(x)]dA
となって、この場合は変数をうまく A に変換できません。
　また、
　　dB/dx = -sin(x)
なので
　　dx = -[1/sin(x)]dB
となって、この場合も変数をうまく B に変換できません。

　cos^2(x)を積分する場合には、公式の求め方に載っていると思いますが、
　　cos^2(x) = cos(x) * cos(x) = [ 1 + cos(2x) ] / 2
を使って、
　　∫[cos^2(x)]dx
　 = (1/2)∫[1 + cos(2x)]dx
　 = (1/2)∫dx + (1/2)∫[cos(2x)]dx

　ここで、Z = 2x とおくと
　　dZ/dx = 2
より
　dx = (1/2)dZ
なので
　∫[cos(2x)]dx
= (1/2)∫[cos(Z)]dZ
= (1/2)sin(Z) + C1
= (1/2)sin(2x) + C1

　これを使って、
　∫[cos^2(x)]dx
= (1/2)∫dx + (1/2)∫[cos(2x)]dx
= (1/2)x + (1/4)sin(2x) + C

　このままでもよいと思いますが、
　　sin(2x)＝ 2sin(x)cos(x)
を使えば、No.1さんの
　∫[cos^2(x)]dx
= (1/2)x + (1/2)sin(x)cos(x) + C
になります。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2016/01/28 19:17

>sin^2θやcos^2θを

そのまま積分してはいけない理由を
教えてください

「そのまま」の意味の取り方が不明ですが、公式集を見て代入すればOKという意味ではそのままできます。
なお、写真の式は根本的に間違っています。正しくは

∫cos^2xdx=(1/2)sinxcosx+x/2+Cです。