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No.1
- 回答日時:
別解の解説ですか?
Pは、AC、BD上にあるから
CP↑ = aPA↑ (a ≧ 0) (B)
DP↑ = bPB↑ (b ≧ 0) (C)
と表わせます。これを
AP↑+BP↑+CP↑+DP↑=0 ①
に代入すれば
AP↑+BP↑+aPA↑+bPB↑=0
PA↑= -AP↑, PB↑= -BP↑ であるから
(1 - a)AP↑+ (1 - b)BP↑= 0 (A)
ここまでは多分よろしいのでしょうね。
ここで、
AP↑≠ 0 (ゼロベクトルではない、|AP|≠ 0)
BP↑≠ 0 (ゼロベクトルではない、|BP|≠ 0)
であるのはよいですね?
また、AP↑とBP↑とは平行ではないので、(A)の =0 が成立するには
a=1 かつ b=1
しかないということです。
ここがよく理解できないところでしょうか。
もしb ≠ 1 であっても(A)が成立するとすれば、
BP↑= -[ (1 - a)/(1 - b) ] AP↑
と書けて、AP↑とBP↑は同じ線分上にあることになってしまいます。つまりPはAB上(またはその延長上)にあることになり、ABCDが四角形であることと矛盾します。
同様に、a ≠ 1 であっても(A)が成立するとすれば、
AP↑= -[ (1 - b)/(1 - a) ] BP↑
と書けて、やはりAP↑とBP↑は同じ線分上にあることになってしまいます。これもPはAB上(またはその延長上)にあることになり、ABCDが四角形であることと矛盾します。
ということで、AP↑とBP↑とが平行ではないならば、(A) が成立するには
a=1 かつ b=1
である必要があるいうことです。
これさえ理解できれば、(B)(C)より
CP↑ = PA↑
DP↑ = PB↑
なので、Pは「ACの中点、かつBDの中点」ということになります。
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