No.1ベストアンサー
- 回答日時:
ひたすら微分してみましょう。
f(x)=1-x^2/2+x^4/24-cos(x)とおく。f(x)は偶関数であるから、x≧0のときのみを考えればよい。
f'(x)=-x+x^3/6+sin(x)
f''(x)=-1+x^2/2+cos(x)
f'''(x)=x-sin(x)
f''''(x)=1-cos(x)
以上により、
f''''(x)≧0であり、f'''(0)=0なので、f'''(x)≧0
f'''(x)≧0であり、f''(0)=0なので、f''(x)≧0
f''(x)≧0であり、f'(0)=0なので、f'(x)≧0
f'(x)≧0であり、f(0)=0なので、f(x)≧0
ここで、f(x)≧0の等号はx=0のときのみ成立するので、x≠0のとき、f(x)>0であり、題意は示された。
注:この問題は、cos(x)のマクローリン展開である、
cos(x)=1-(1/2!)x^2+(1/4!)x^4-・・・[{(-1)^m}/(2m)!]x^(2m)+・・・
を題材にしています。
この回答へのお礼
お礼日時:2004/07/19 22:42
回答ありがとうございます!
四階微分までするとは考えませんでした泣
なるほどです。
自分の手でもう一度確認します。
わかりやすく、ありがとうございました。
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