二次方程式x^2+(k+3)x+k^2=0が重解を持つとき、kの値を求めなさい。 どうしてもわから

二次方程式x^2+(k+3)x+k^2=0が重解を持つとき、kの値を求めなさい。

どうしてもわからなく、困っています。誰か、教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/11/12 15:53

重解を持つ条件は解ってますか？

二次方程式をax²+bx+c=0　とすると、
判別式D=b²-4ac=0　が重解を持つ必要十分条件。

x²+(k+3)x+k²=0で、a=1,b=(k+3),c=k²　だから
D=(k+3)²-4k²=0を解けばよい。

(k+3)²-4k²=k²+6k+9- 4k²=-3k²+6k+9=-3(k²-2k-3)
=-3(k+1)(k-3)=0

∴k=-1,3

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2016/11/12 16:05

一般的な解法としては、「重根を持つときは、判定式：D=0」ということです。

（実数解を持つときには D≧0、 2つの異なる実数解を持つときには D>0）

つまり
　D = (k + 3)^2 - 4k^2
　　= k^2 + 6k + 9 - 4k^2
　　= -3k^2 + 6k + 9
　　= -3(k - 3)(k + 1)
　　= 0
より
　　k= -1 または k=3
です。


あるいは、2つの解を a, b としたとき、解と係数との関係から
　　a + b = k + 3　　①
　　ab = k^2　　　　②
となり、重根の場合には
　　a=b
なので
　　①→　2a = k + 3　　③
　　②→　a^2 = k^2　　④
ということです。

③より
　　a = (k + 3)/2
として④に代入すると
　　(k + 3)^2 /4 = k^2
双方を4倍して移項すると
　　(k + 3)^2 - 4k^2 = 0
という、「判別式 D」と同じ式が得られますね。


k=-1 のときは
　x^2 + 2x + 1 = 0
ですから、
　(x + 1)^2 = 0
　x=-1
で重根となります。

＞#1,2さん：どこか間違っていますね。

No.2 回答者： asgardr 回答日時： 2016/11/12 15:31

No1です。

途中の　X*X＋２K＋K*K 　は　X*X＋２KX＋K*K　でした。
すみません。

No.1 回答者： asgardr 回答日時： 2016/11/12 15:28

＝の前にあるK＊K（Kの２乗）から、この式は

（X+K)(X+K)＝０を展開した式ということがわかります。
で、この式を実際に展開すると、
X*X＋２K＋K*K＝０となりますね。
これは（K+3)が２Kと等しいことになりますので、
２K＝K+3
２K-K=３
K=3　　　という答えになります。