区間[0,2π]での(sin(t/2))^2をフーリエ級数展開求めろという問題なんですが,
a_0=(1/π)*∫[0,2π] (sin(t/2))^2 dt
=(1/ 2*π)*∫[0,2π] (1-cos(t)) dt
=1
なのはあってると思うんですが,
a_n=(1/π)*∫[0,2π] ((sin(t/2))^2) * cos(nt) dt
と
b_n=(1/π)*∫[0,2π] ((sin(t/2))^2) * sin(nt) dt
を解くとどっちも0になってしまいます。
解答ではフーリエ級数展開したのは,(1/2) - (1/2)*cos(t)となっているんですが
-(1/2)*cos(t)はどこからでてきたのでしょうか?
よろしくおねがいします。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
「とりあえずn=1・・・といれて
0じゃないのを探してみるものなんでしょうか?」
ということではないですね。性質を考えるとすぐわかるんです。三角関数の積分がゼロになるのは、n=1から
∫[-π, +π}sin(nx)dx=0, ∫[-π, +π}cos(nx)dx=0
∫[-π, +π}sin(nx)oos(nx)dx=0 など
ではゼロにならないのは、
∫[-π, +π}sin^2(nx)dx, ∫[-π, +π}cos^2(nx)dx
なぜかというと、
例えば、三角関数の公式から、sin^2x=(1/2){1-cos2x}, 及び cos^2x=(1/2){1+cos2x},
だから
∫[-π, +π}sin^2(nx)dx=∫[-π, +π}(1/2)dx-(1/2)∫[-π, +π}cos2xdx=∫[-π, +π}(1/2)dx=π
なぜなら、∫[-π, +π}cos2xdx=0 だからだね。
つまり二乗に成るものがあるかどうかだけ探せばいいんですね。
そこで、sin(t/2))^2=(1/2){1-cost} ですからcostをかけると二乗が出ますね。自動的にn=1 のときのみなんですね。関数の性質を勉強していくと良くわかるようになります。
No.2
- 回答日時:
((sin(t/2))^2) * cos(nt)
=(1/2)(1-cos(t))*cos(nt)
n=1
(1/2)(1-cos(t))*cos(t)
=(1/2)(cos(t)-cos^2(t))
=(1/2)[cos(t)-(1/2){1+cos(2t)}}
(1/π)*∫[0,2π] (1/2)[cos(t)-(1/2){1+cos(2t)}}dt
=-(1/4)*2=-(1/2)
a_1=-(1/2) それ以外は0ですね。
回答ありがとうございます。
n=1というのはどうやってでてきたのでしょうか?
公式の
a_n=(1/π)*∫[0,2π] ((sin(t/2))^2) * cos(nt) dt
b_n=(1/π)*∫[0,2π] ((sin(t/2))^2) * sin(nt) dt
が0になったときは,とりあえずn=1・・・といれて
0じゃないのを探してみるものなんでしょうか?
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 物理学 フーリエ変換の振幅について 1 2022/09/04 08:56
- 工学 周波数fで表現したフーリエ変換の対称性に関する質問です。 1 2022/09/14 12:27
- 数学 θ=π/2 のまわりでの f(θ)=sinθ/cosθのローラン展開に関して 以外の「」の解答を頂き 13 2022/11/11 09:45
- 数学 写真の赤線部にについてですが、 どのように展開すれば「cos²5x-cos²3x」から 「sin²3 3 2023/02/13 13:38
- 数学 線形代数の行列についての問題がわからないです。 1 2022/07/18 17:46
- 数学 次の関数を微分せよ y=sin^4 x cos^4 x という問題で自分は積の微分法で微分して y' 3 2023/05/17 20:38
- 数学 回答者どもがなかなか答えられないようなので、考えてみました。 ∫[0,π/2]log(sinx)/( 4 2022/08/31 16:30
- 数学 座標変換について 1 2022/08/04 16:42
- 数学 θ=π/2 のまわりでの f(θ)=sinθ/cosθのローラン展開は f(θ) =sin(θ)/c 5 2022/10/29 21:02
- 数学 高校生です。 この問題が解説がないため合ってるか分かりません。 この回答であってますか? 回答 g( 3 2023/01/24 14:05
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
e^2xのマクローリン展開を求め...
-
不定積分∫dx/√(1-x^2)=arcsin(x...
-
1+cosθをみると何か変形ができ...
-
微分方程式の特殊解を求める問題
-
フーリエ級数|cosx|
-
eの2πi乗は1になってしまうんで...
-
三角関数の問題です。 0≦θ<2πに...
-
数学です
-
cosθやsinθを何乗もしたものを...
-
助変数tを用いて,サイクロイド...
-
極座標の偏微分について
-
数学の質問です。 円に内接する...
-
cos2, cos3, cos4 の大小をくら...
-
この和積の公式の利用ですがcos...
-
0 ≦θ ≦πのとき cos(2θ+π/3)=cos...
-
X5乗-1=0 の因数分解の仕方...
-
数学の質問です。 0≦θ<2πのとき...
-
この問題の解き方を教えてくだ...
-
三角形の面積の射影と方向余弦...
-
これってどうやって解くんです...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
e^2xのマクローリン展開を求め...
-
eの2πi乗は1になってしまうんで...
-
1+cosθをみると何か変形ができ...
-
複素数の問題について
-
自然対数eは何に使えるのですか...
-
数学の質問です。 0≦θ<2πのとき...
-
積分
-
長方形窓の立体角投射率
-
三角関数
-
Σは二乗されないのですか?
-
不定積分∫dx/√(1-x^2)=arcsin(x...
-
cos(2/5)πの値は?
-
複素数zはz^7=1かつz≠1を満たす...
-
X5乗-1=0 の因数分解の仕方...
-
0 ≦θ ≦πのとき cos(2θ+π/3)=cos...
-
不定積分です
-
(cosθ+isinθ)^2=cos2θ+isin2θ ...
-
cos60°が、なぜ2分の1になるの...
-
三角関数で、
-
cosxのフーリエ級数が分かりま...
おすすめ情報