この問題がわかりません。

次の行列が正則であればその逆行列を、基本変形を用いて求めよ。


　1 -2 3
（ 2 -3 4 ）
3 -8 13


正則であり、逆行列が求まるみたいなんですが、求まりません。
どなたか、教えて下さい。

質問者からの補足コメント

• 

  No.1の方が行っている、detAって、３×３行列以外だったらどうすればいいのでしょうか？
  調べても、どれも３かける３行列で説明していて、わからないです。

    補足日時：2017/05/17 19:34

No.1 回答者： horahukisann2017 回答日時： 2017/05/16 21:43

これは、3 × 3 の行列ですか？

a,11 = 1
a,12 = -2
a,13 = 3

a,21 = 2
a,22 = -3
a,23 = 4

a,31 = 3
a,32 = -8
a,33 = 13

として、
detA = a,11・(a,22・a,33 - a,23・a,32) - a,12・(a,21・a,33 - a,23・a,31) + a,13・(a,21・a,32 - a,22・a,33)
で正しいでしょうか？

detA を計算してみたら 0 になってしまうみたいです。まず、detA を正しく計算してみて 0 にならないのなら逆行列があるんですよね？

基本変形とはなんですか？掃き出し法のことですか？

この回答へのお礼

方程式の順番を並べ換える
ひとつの方程式にある数をかけて他の方程式に加える
ひとつの方程式に0でない数をかける

この手順のことを基本変形というと授業で習いました。

行列は３×３行列という解釈であってます。

detAが何なのか、detAを用いることで行列自体に逆行列があるかないかを確かめる事ができるということは、授業では習いませんでした。

detAが０になってしまうということは、この行列に逆行列は存在しないということですか?

お礼日時：2017/05/16 22:30

No.2 回答者： horahukisann2017 回答日時： 2017/05/16 23:16

基本変形の説明を見てみますと、掃き出し法のようですね。

（掃き出し法）と言うのは別名なのでしょうか。

1 -2 3, 1 0 0 …①
2 -3 4, 0 1 0 …②
3 -8 13, 0 0 1 …③

として、(A|E) に基本変形を施していって、(E|A^(-1)) となるようにするんですよね？

第②行を ② - 2・①で置き換える
2 -3 4, 0 1 0 …②
2 -4 6, 2 0 0 …2・①
−−−−−−−−−−
0 1 -2, -2 1 0 …② - 2・①；これを新しい②とする。

第③行を 3・① - ③で置き換える
3 -6 9, 3 0 0 …3・①
3 -8 13, 0 0 1…③
−−−−−−−−−−
0 2 -4, 3 0 -1 …3・① - ③；これを新しい③とする。

よって

1 -2 3, 1 0 0 …①
0 1 -2, -2 1 0 …②
0 2 -4, 3 0 -1 …③

とできると思うのですが、 基本変形をさらに続けて(E|A^(-1))を作るにはつぎにどんな基本変形を施しますか？

この回答へのお礼

1 -2 3,1 0 0　　1 -2 3,1 0 0 1 -2 3,1 0 0 1 -2 3,1 0 0 1 -2 3,1 0 0　　 1 0 -1,-3 -1 0
0 1 -2,-2 1 0 → 0 1 -2,-2 1 0 → 0 1 -2,-2 1 0 → 0 1 -2,-2 1 0 → 0 1 -2,-2 1 0 → 0 1 -2,-2 1 0
0 2 -4,3 0 -1 1 0 -1,4 0 -1 1 -1 1,6 -1 -1 0 1 -2,5 -1 -1 1 -1 1,6 -1 -1 1 -1 1,6 -1 -1

　　1 -1 1,-1 -2 0
→　0 1 -2,-2 1 0　　　うーん、これ以上わかりません...
　　1 -1 1,6 -1 -1

お礼日時：2017/05/17 00:30

No.3 ベストアンサー 回答者： horahukisann2017 回答日時： 2017/05/17 01:01

第②行の 2 倍から第③行を引くと、

0 2 -4, -4 2 0 …2・②
0 2 -4, 3 0 -1 …③
−−−−−−−−−−
0 0 0, -7 2 1 …2・② - ③；これを新しい③とする。

1 -2 3, 1 0 0 …①
0 1 -2, -2 1 0 …②
0 0 0, -7 2 1 …③

これは、なにか不都合を感じませんか？左側の 3 × 3 行列を E にしたいのですが、全部 0 になっています。できれば、第③行を

0 0 1, a b c …③

となるように変形したいのです。

正則である、正則ではない、というのはどのようなものを言うのですか？

この回答へのお礼

(A|E) に基本変形をして、(E|A^(-1)) となれば正則であるので、この問題のAは正則でないということですね？

お礼日時：2017/05/17 07:36

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2017/05/17 17:55

1…ー2……3

2…ー3…4
3…ー8…13

の判別式=ー39ー48ー24ー(ー27ー52ー32)=ー111ー(ー111)=0
となり、No1の言われているように、この行列は、逆行列をもたないので、正則ではないし
事実、基本変形している途中に、
0…7/2…ー7 …ー7…7/2…0
0…7/2…ー7 … 0…3/2…ー1
と 矛盾するので、不可！

この回答へのお礼

そうですよね。わかりました。
先生に言ってみます。
いくらやってもできないのに、先生が正則になるっていうので、クラスで困惑してたんです。
ありがとうございました！

お礼日時：2017/05/17 19:30

No.5 回答者： horahukisann2017 回答日時： 2017/05/17 22:11

行列式のラプラス展開で検索すると何か出てくるかも知れません。

この回答へのお礼

ラプラス展開という言葉、初めて聞きました！なんかちょっと難しそうですね！
理解できるようにたくさん調べます。
ありがとうございました！

お礼日時：2017/05/17 23:11

No.6 回答者： sc348253 回答日時： 2017/05/18 16:21

余因子展開(ラプラス展開)は、No.1のdetAの展開を言い、私のサラス展開(3次まで)と同じく、判別式=detA=0となります。

detAは、2次は、adーbc 3次までは、サラス展開か 3次以上は、余因子展開のみ！