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問題。3点(-1,0)(5,0)(0,-5)を通る放物線の頂点の座標を求めよ

A 回答 (5件)

2通りの解法で解きましょう!



点(0,ー5)を通ることから、求める式を
y=ax^2+bxー5=f(x) とおけるから
点(ー1,0)を通るから
f(ー1)=aーbー5=0 …(1)
また、点( 5,0)を通るから
f(5)=25a+5bー5=0 …(2)
∴ 5a+bー1=0 …(2)'
(1),(2)' より
a=1 b=ー4 よって 放物線は
y=x^2ー4xー5=(xー2)^2ー9
よって、頂点は、(2,ー9) …Ans

別解)
放物線の標準形において、頂点の座標を、(α,β)とおくと
(xーα)^2=4p(yーβ) …(1)とおけるから
点(ー1,0),(5,0),(0,ー5)を通るから (1)に代入すると
(ー1ーα)^2=4p(0ーβ) …(2)
(5ーα)^2=4p(0ーβ) …(3)
(0ーα)^2=4p(ー5ーβ) …(4)

(2),(3)より 12α=24 ∴ α=2 …(5)
これと、(4)より
9=ー4pβ , 4=ー4p(5+β) ∴ 9(5+β)=4β ∴ β=ー9 …(6)
よって、(5),(6)より
頂点は、(2,ー9) …Ans
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まずはイメージする。

上に広がる放物線なのか、下に広がる放物線なのか。
次に与えられた条件で頂点はX座標のどのあたりになるか、Y座標はどのあたりになるのかを大まかに「イメージ」する。
そして、そのイメージを明確に示すために数式を作る。

頑張れ。

・・・余談・・・
イメージすらできないものを数式で何とかしようなんて無駄なことは考えないほうが良い。
時間の無駄です。
この手の問題を難なく解く人は上記のことを一瞬で判断するんですよ。

イメージできないなら、方眼紙に描いてみましょう。
条件の座標に印をつけて、そこを通るであろう「放物線」を方眼紙を見つめながら想像する。
それすらできないのであれば、初めから考えるのはやめましょう。
本当に時間の無駄です。
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a=1だから


y=(x-2)^2-9
頂点は(2,-9)
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じゃない。


間違えました。
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条件より放物線の式は


y=a(x+1)(x-5)
とおける(ただし、a≠0)
点(0,5)を通るから代入すると、
a=-1
放物線は
y=-(x+1)(x-5)
=-x^2+4x+5
=-(x-2)^2+9
よって頂点は(2,9)
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