複素数の問題です

複素数の問題で、

(3+2i)(3-i)^8/(1-3i)^6

の絶対値を求めたいです。

何度解いても解答が合いません。

質問者からの補足コメント

• 答えは10√13になるはずなのですが、自分が解くと√37になったり2√305になったりします。よろしければ途中式を示していただけたら嬉しいです。

    補足日時：2017/06/02 07:19

No.3 ベストアンサー 回答者： sorai_haruto 回答日時： 2017/06/02 07:54

|ab|=|a||b|

|(a/b)|=|a|/|b|
|a^2|=|a|^2
この3つを使えば暗算で解ける

この回答へのお礼

なるほど、直接計算だとこんがらがりますが、こうすればよかったのですね！ありがとうございます

お礼日時：2017/06/08 21:27

No.10 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/06/04 09:41

結構基本ですが 複素数 a, b に対して |ab| = |a||b|, |a/b| = |a|/||b| が成り立つことを把握されているでしょうか？

これが分かっていれば簡単です。

|3+2i| = √(13)
|3-i| = √(10)
|1-3i|=√(10)

|(3+2i)(3-i)^8/(1-3i)^6| =√(13)・ (√(10))^2 = 10√(13)

暗算で十分求まりますよ。

この回答へのお礼

ありがとうございます
基本的な公式の存在を忘れていてお恥ずかしい限りです

お礼日時：2017/06/08 21:27

No.9 回答者： okada2728 回答日時： 2017/06/03 18:44

オイラーの公式を使って

3+2i=√13*e(iθ1)（ただしtanθ1=2/3）
3-i=√10*e(iθ2)（ただしtanθ2=-1/3）
1-3i=√10*e(iθ3)（ただしtanθ3=-3)
などと変形しておいて、指数部の絶対値は１になることに注意してべき乗をとれば答えです。

No.8 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/06/03 03:38

あ, 間違えた, i(3-i) が 1-3i になるわけないじゃん＞おれ

絶対値だけならあってるけどなぁ (苦笑)

この回答へのお礼

はじめは私もそのように約分できるのではと考えておりました
絶対値は同じであることに気づけば簡単だったのですね、ありがとうございます

お礼日時：2017/06/08 21:30

No.7 回答者： GBde 回答日時： 2017/06/03 02:26

嗤われても　敢えて　稚拙な 　なんとか正直 な　直接けーさん　で

((3 + 2*I)*(3 - I)^8)/(1 - 3*I)^6 =
402516/15625 - (394162 I)/15625 となり
Sqrt[(402516/15625)^2 + (-(394162 /15625))^2] =
Sqrt[1300] = 10 Sqrt[13].

この回答へのお礼

最初はそのように解いていたのですが、それで全く上手くいかなくなってしまったので…回答ありがとうございます

お礼日時：2017/06/08 21:30

No.6 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/06/03 00:22

実は

i(3-i) = 1-3i
だから
(3+2i)(3-i)^8/(1-3i)^6 = (3+2i)[-i(1-3i)]^8/(1-3i)^6 = (3+2i)(1-3i)^2
だったりする.

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2017/06/02 09:50

8乗や６乗を一生懸命計算し、それをかけ算・割り算する段階で、その都度どこかでミスをしているのでしょうか。

ここでは
　a + ib = √(a² + b²) * [ cos(θ) + i*sin(θ) ]
　　　　= √(a² + b²) * e^(iθ)
　（ここで、 cos(θ) = a/√(a² + b²), sin(θ) = b/√(a² + b²) ）
から
　|a + ib| = √(a² + b²)
　(a + ib)^n = (a² + b²)^(n/2) * e^(inθ)
　　　　　　 = (a² + b²)^(n/2) * [ cos(nθ) + i*sin(nθ) ]
を使いましょう。

3 - i = √10 * [ cos(θ1) + i*sin(θ1) ]
と書けば
　(3 - i)^8 = (√10)^8 * [ cos(8*θ1) + i*sin(8*θ1) ]

1 - 3i = √10 * [ cos(θ2) + i*sin(θ2) ]
と書けば
　(1 - 3i)^6 = (√10)^6 * [ cos(6*θ2) + i*sin(6*θ2) ]

ついでに
3 + 2i = √13 * [ cos(θ3) + i*sin(θ3) ]
と書けば

　与式 = √13 * [ cos(θ3) + i*sin(θ3) ] * (√10)^8 * [ cos(8*θ1) + i*sin(8*θ1) ] / { (√10)^6 * [ cos(6*θ2) + i*sin(6*θ2) ] }
　　　= [ √13 * (√10)^8 / (√10)^6 ] * e^(i*θ3) * e^(i*8*θ1) / e^( i*6*θ2)
　　　= 10√13 * e^[ i*(θ3 + 8*θ1 - 6*θ2) ]
　　　= 10√13 * [ cos(θ3 + 8*θ1 - 6*θ2) + i*sin(θ3 + 8*θ1 - 6*θ2) ]

ということになります。三角関数ないしは指数関数の部分の絶対値は 1 ですので、与式の絶対値は
　　|与式| = 10√13
になります。

#2 さんのように、最初から「絶対値だけ」で考えても結果は同じです。三角関数ないしは指数関数で書いた部分の絶対値は常に「１」ですから。

No.4 回答者： 20170130 回答日時： 2017/06/02 09:33

(3+2i)の絶対値√13

(3-i)の絶対値√10
(1-3i)の絶対値√10

与えられた式の絶対値　((√13)*(√10)^8)/(√10)^6　で良いのでは

この回答へのお礼

別々に計算して合わせればよかったのですね、基本的な公式を忘れていました、ありがとうございます

お礼日時：2017/06/08 21:28

No.2 回答者： 漂浪の火星人 回答日時： 2017/06/02 02:34

解くたびに答えが変わるのか？

この回答へのお礼

恥ずかしながらそういうことです。

お礼日時：2017/06/02 07:20

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/06/02 01:22

ん～....

10√13?

この回答へのお礼

そうです。答えはそうなるはずなのですが…どのような途中式を経てそうなりましたか？

お礼日時：2017/06/02 07:19