高一 数Ａ 実数 の問題です。 x＝√2−1のとき、次の値を求めよ。 (1) x+1/x (2) x

高一 数Ａ 実数 の問題です。
x＝√2−1のとき、次の値を求めよ。

(1) x+1/x
(2) x²+1/x²
(3) x³+1/x³
(4) x⁴+1/x⁴
(5) x^5+1/x^5

の5の解き方を教えてくださいm(_ _)m

ちなみに答えは
(1)2√2 (2)6 (3)10√2 (4)34 (5)58√2 です。

No.1 回答者： yanpii 回答日時： 2017/06/03 06:26

(1)x代入して計算。

(2)(1)の式を使って(x+1/x)^2=(2√2)^2を計算。左辺を問いの形にする。
(3)(1)の式を使って(x+1/x)^3=(2√2)^3を計算。左辺を問いの形にする。
(4)(2)の式を使って(x^2+1/x^
2)^2=6^2を計算。左辺を問いの形にする。
(5)(2)(3)の式を使って(x^2+1/x^
2)(x^3+1/x^
3)=6＊10√2を計算。左辺を問いの形にする。

No.2 ベストアンサー 回答者： kenzou03 回答日時： 2017/06/03 07:02

No.1の方か私の解答のどちらかになると思います。

(1)を求めてから(2)を求め、これを使って逐次計算を進めて行くことです。

質問者さんにはまだ早いですが、複素数の場合であれば、x^n、(1/x)^nを計算して足した方が早くなります。
これは極座標表示ができるためです。

実数の範囲では添付画像のものがすっきりするでしょう。

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2017/06/08 11:07

通分して、1/x=√2 +1

xー1/x=ー1ー1=ー2 …(1)
x=｛(x+1/x)+(xー1/x)｝/2
∴ 2x=(x+1/x)+(xー1/x)
∴ x+1/x=2xー(xー1/x)=2(√2ー1)ー(ー2)=2√2 …(2)

2次の公式より
(xー1/x)^2=x^2+1/x^2ー2
∴ x^2+1/x^2=(xー1/x)^2+2=(ー2)^2+2=6 …(3)

3次の公式より
x^3+1/x^3=(x+1/x)(x^2 ー1+1/x^2)=2√2・(6ー1)=10√2 …(4)

(3)より
x^4+1/x^4=(x^2 +1/x^2)^2 ー2=6^2ー2=34

(3),(4)より
(x^2+1/x^2)(x^3+1/x^3)ー(x+1/x)=6・10√2ー2√2=５８√2

(3)以降はbestでしょう！出来るだけ √ の計算がしないのが、早くてミスない！

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2017/06/08 18:17

補足として、蛇道と捉える人いるかもしれないが、

x=√2ー1 ,1/x=√2+1 を見て
xー1/x=ー2 と整数になることがわかる。
だから、2次式の1/x^2+1/x^2=(xー1/x)^2+2=(ー2)^2+2=6 と整数になることも直ぐわかる！
だから、3次式以降は、x^2+1/x^2=6を使うとことを考えると間違いがない！
よって、4次式は、2次式の二乗を！
5次式は、2次式と3次式の積を考えた方が、早くてミスがない！
漫然と計算せず、要は、気配りが大事！！！(余談)