No.1ベストアンサー
- 回答日時:
ex,eyは単位ベクトルですよね。
まあ、そうであるとしてやります。
はい、tで微分しまくればいいのです。
aに関して場合分けがいります。
最初にa≠0ですね。
a=0だとyが定義できなくなっちゃう。
題意より
x軸方向は速度一定(v)なので
-π/v≦t≦π/vであり、x(t)=vt
よって、-π≦x≦π
よって、-π/a≦x/a≦π/a(a>0のとき)
π/a≦x/a≦-π/a(a<0のとき)
じゃあまずは
a≦-1,1≦aのとき、
x/aの絶対値はπ以下だから
y=acos(x/a)だけ考えればいい。
この時、
r(t)t=vtex+acos(vt/a)ey
微分して、v(t)=vex-vsin(vt/a)ey
微分して、a(t)=(-v^2/a)cos(vt/a)ey
こんなもんで、
-1≦a≦1(ただし、a≠0)
のとき、
x/aの絶対値がπ以下のとき
さっきとまったく同じで、
x/aの絶対値がπ以上のとき、
x(t)=vt,y(t)=-a
よって、r(t)=vtex+-aey
微分して、v(t)=vex
微分して、a(t)=0
こんなもんですかね。
最後にこれらをまとめるといいですよ。
間違いがあれば、すいません。
勉強頑張ってくださいね。
No.2
- 回答日時:
範囲毎に分けて問題無いです。
t≦-a/v、-a/v≦t≦a/v、a/v≦t
で分けましょう。
No.3
- 回答日時:
最初の「物体の位置 r(t)」をどう表わしてよいか分からない、ということですか?
これはまさしく「グラフ」のとおり、ということです。
ただし、「速度、加速度は、物体の位置r(t)を微分し」ということは「時間 t で微分し」ということなので、tの関数として表わすことが必要です。
まず、「この物体の速度のx成分が一定の値vであったとする」ですから
x(t) = v*t ①
ですね。
「⑴時刻tが -π/v≦t≦π/v での」ですから、①より、その x の範囲は
-π ≦ v*t ≦ π → -π ≦ x ≦ π ②
です。
一方、x に対する y は
y = a*cos(x/a), -π≦x/a≦π ③
で、a>0 とみなしても一般性を失わないようなので、以下 a>0 とします。従って、
-a*π ≦ x ≦ a*π ④
グラフに書かれた y がどのような値をとるかは、②と④の範囲の大小によって変わります。これを場合分けしましょう。
(1)a≧1 のとき
-a*π ≦ -π ≦ x ≦ π ≦ a*π
なので、
y = a*cos(x/a)、-π ≦ x ≦ π
(2)0<a<1 のとき
-π < -a*π ≦ x ≦ a*π < π
なので、
-π < x < -a*π のとき y=-a
-a*π ≦ x ≦ a*π のとき y = a*cos(x/a)
a*π < x < π のとき y=-a
以上から、
(1)a≧1 のとき、 -π/v≦t≦π/v の全範囲に対して
r(t) = v*t * ex + a*cos(v*t/a) * ey
(2)0<a<1 のとき、 -π/v≦t≦π/v に対して
-π/v < t < -a*π/v のとき r(t) =v*t * ex - a * ey
-a*π/v ≦ t ≦ a*π/v のとき r(t) = v*t * ex + a*cos(v*t/a) * ey
a*π/v < t < π/v のとき r(t) = v*t * ex - a * ey
これで 「物体の位置 r(t)」が、定義された t の範囲でどう表わされるかが分かりました。
あとはよろしいのですよね?
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画像が荒くて見ずらいですね。
問題文です。
右の図の曲線│-a, x/a≦-π
y= │a cos(x/a), -π≦x/a≦π
│-a, π≦x/a
に沿って運動する物体を考える。この物体の速度のx成分が一定の値vであったとする。物体は時刻t=0に点(x(0),y(0))=(0,a)を通過したとする。
⑴時刻tが -π/v≦t≦π/v での、
物体の位置 r(t)=x(t)ex+y(t)ey
速度ベクトルv(t)=vx(t)ex+vy(t)ey
加速度ベクトルa(t)=ax(t)ex+ay(t)ey
を求めよ。
※e,v,aのあとのx,yは添字
⑶物体に最も大きい加速度が加わる点とそこでの加速度の大きさ、および、物体の速度が最も速くなる点とそこでの速度の大きさを求めよ。
⑶の問題は大丈夫です!
⑴だけお願いします