△ABCの重心をG,任意の点をOとするとき AG^2+BG^2+CG^2＝OA^2+OB^2+OC^

△ABCの重心をG,任意の点をOとするとき

AG^2+BG^2+CG^2＝OA^2+OB^2+OC^2－3og^2 であることを証明せよという問題で写真はどのような方法で回答しているか教えて下さい。

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2017/07/14 11:14

重心及びベクトルの内積の定義に従って、変形して証明しているだけ！

No.3 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/07/14 03:29

(左辺) =AG^2+BG^2+CG^2

(右辺) =OA^2+OB^2+OC^2-3OG^2

まず、ベクトルの確認をしておく。
↑AG =↑AO +↑OG =-↑OA +↑OG ＝↑OG -↑OA
同様に、
↑BG =↑BO +↑OG =-↑OB +↑OG ＝↑OG -↑OB
↑CG =↑CO +↑OG =-↑OC +↑OG ＝↑OG -↑OC

ここで
↑OA=↑a、↑OB=↑b、↑OC=↑c、↑OG=↑g　とおけば、
↑AG =↑g -↑a
↑BG =↑g -↑b
↑CG =↑g -↑c
と表されるから、

(左辺) - (右辺)
=AG^2+BG^2+CG^2 - (OA^2+OB^2+OC^2-3OG^2)
=|↑AG|^2 +|↑BG|^2 +|↑CG|^2
- {|↑OA|^2 +|↑OB|^2 +|↑OC|^2 -3|↑OG|^2}
=|↑g -↑a|^2 +|↑g -↑b|^2 +|↑g -↑c|^2
- {|↑a|^2 +|↑b|^2 +|↑c|^2 -3|↑g|^2}
=|↑g|^2 -2↑g・↑a +|↑a|^2
+|↑g|^2 -2↑g・↑b +|↑b|^2
+|↑g|^2 -2↑g・↑c +|↑c|^2
- |↑a|^2 -|↑b|^2 -|↑c|^2 +3|↑g|^2
=3|↑g|^2 +|↑a|^2 +|↑b|^2 +|↑c|^2
-2(↑g・↑a +↑g・↑b +↑g・↑c )
-|↑a|^2 -|↑b|^2 -|↑c|^2 +3|↑g|^2
=3|↑g|^2 +3|↑g|^2
-2(↑g・↑a +↑g・↑b +↑g・↑c )
=6|↑g|^2
-2↑g・(↑a +↑b +↑c )
=6|↑g|^2 -2↑g・3↑g　　　　：（↑a +↑b +↑c=3↑gより）
=6|↑g|^2 -6|↑g|^2
=0

したがって、(左辺) ＝ (右辺) が成り立つ。



確認のため、より丁寧に計算してみましたが、
やったことは、(左辺) - (右辺) =0 から
(左辺) ＝ (右辺) を証明しただけですね。

No.2 回答者： springside 回答日時： 2017/07/14 00:26

どのような方法も何も、A=Bを証明せよという問題で、A-B=0を示しているだけ。

その過程で、ベクトルの計算を行っている。このベクトルの計算は、機械的な単純計算で、見たまんま。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/07/14 00:23

方法も何も、地道に計算しているだけですね。

(a+b+c)/3= g さえわかっていれば、後は機械的に解くだけ。