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ベクトルスペースVの元 v_1からv_mを基とし、
さらに、w_1からw_nもVの元とする。ただし、n>mである。 このとき、w_1からw_nが一次従属であることを示す。
w_1からw_n一次独立と仮定し、
v_1が基であることから、
w_1=a_1v_1+、、、a_mv_mより、
v_1=a^−1_1w_1−a^−1_1a_2v_2−、、、a^−1_1a_mv_mとなり、
これによって、w_1、v_2、、、v_mがVを生成すると言えるそうなんですがなぜですか?
またw_1がv_2からv_mの線形結合で書けることから何が言えるのですか?

質問者からの補足コメント

  • 丁寧に答えていただきありがとうございます。
    少し聞きたいことがあります。
    after renumberingの部分で質問なんですが、
    a_1=0とすると、a_k=0でない というのはわかります。
    a_1v_1+、、、a_kv_kで番号を入れ替えるとは、v_kをv_1にすることですか?それでa_1が0でないということにして良いのですか?最初にa_1が0ならって仮定しているのに、a_1が0でないということになるんですか?このへんがよく分かりません。

      補足日時:2017/07/16 17:55

A 回答 (3件)

>a_1=0とすると、a_k=0でない というのはわかります。


正確には, a_k = 0 とならない k (2 ≦ k ≦ m) が存在する, です.
もう少し詳しく書くと, a_k = 0 とならない k (2 ≦ k ≦ m) が「少なくとも 1 つ」存在する, ということです.

>a_1v_1+、、、a_kv_kで番号を入れ替えるとは、v_kをv_1にすることですか?
>それでa_1が0でないということにして良いのですか?
>最初にa_1が0ならって仮定しているのに、a_1が0でないということになるんですか?
ここはとても重要な部分なので, 丁寧に説明します.
{v_1, ..., v_m} は V の基底であり, V の任意の元は v_1, ..., v_m の線型結合として表せます.
ただし, その表し方は 1 通りしか存在しません.
今回の例では,
w_1 = (a_1)v_1 + (a_2)v_2 + ... + (a_m)v_m
と表せますが, a_1, a_2, ..., a_m の選び方に自由は無く, 仮に
w_1 = (b_1)v_1 + (b_2)v_2 + ... + (b_m)v_m とも表せるならば,
a_1 = b_1, a_2 = b_2, ..., a_m = b_m がすべて成り立ちます.

以上のことから, 番号の付け直しに関して, v_1 と v_k だけを取り替えることは許されません.
当然, a_1 と a_k も取り替える必要があります.
w_1 = (a_1)v_1 + (a_2)v_2 + ... + (a_k)v_k + ... + (a_m)v_m であるのに, v_1 と v_k だけを取り替えると,
w_1 = (a_1)v_k + (a_2)v_2 + ... + (a_k)v_1 + ... + (a_m)v_m となり, 両者を比較することにより,
a_1 = a_k と結論できてしまいます.
しかし, a_1 = 0 かつ a_k ≠ 0 と仮定したのだから, a_1 = a_k が成り立つはずがありません.

まとめると,
それまで v_1 だったものを v_k と名称変更し, v_k だったものを v_1 と名称変更します.
さらに, それまで a_1 だったものを a_k と名称変更し, a_k だったものを a_1 と名称変更します.
「名称変更」とは, 当然「番号の付け直し」と同義です.
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えっと, まだ Theorem 3.1. に関しては, 証明の途中です.


補足質問を繰り返し(質問 → 回答, のたびに締め切るのではなく), 証明を完成させることを強くお勧めします.
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>Let V be a vector space over the field K.


「V を体 K 上のベクトル空間とする」
これは, 誰が訳しても同じになる, いわゆる定番表現です.
この場合, 体 K をベクトル空間 V の「基礎体」といいます.

>Let {v_1, ..., v_m} be a basis of V over K.
基礎体はすでに K と分かっているので, "over K" は訳出しないことも可能です.
"a basis of V" と, 不定冠詞の a が使われており, 定冠詞の the ではないことは, 数学的にも意味をもちます.
ベクトル空間 V の基底, つまり basis が, {v_1, ..., v_m} だけではない, というニュアンスを含んだ表現になっています.

>Let w_1, ..., w_n be elements of V,
w_1 だけなら, Let w_1 be an element of V, となるところです.
elements のような無冠詞複数形は, 直前に「目に見えない不定冠詞」がある, と考えられます.
ただし, 不定冠詞 a や an と違って「ひとつの」という意味をもちません.

>and assume that n > m.
最初からずっと命令文が続いていますが, 訳すときは命令口調を採用しません.

>Then w_1, ..., w_n are linearly dependent.
この定理の「結論」に該当する部分です.
n > m = dim V なので, w_1, ..., w_n が線型従属なのは誰でも知っていることですが, 証明するとなると難度が上がります.

{v_1, ..., v_m} は基底ですから, V の任意の元は, v_1, ..., v_m の線型結合として表せます.
よって, 適当な a_1, ..., a_m ∈ K を用いて, w_1 = (a_1)v_1 + ... + (a_m)v_m と書けます.

>Proof. Assume that w_1, ..., w_n are linearly independent.
要するに, 背理法を用いて証明する, ということです.
w_1, ..., w_n が線型独立と仮定したので, w_1, ..., w_n のどれもが零ベクトルではありません.
零ベクトルを含む 1 個, または複数個のベクトルは, 必ず線型従属です.
ちなみに, なぜだか分かりますか.

w_1 ≠ 0 = 零ベクトル, なので, a_1 = ... = a_m = 0 ∈ K とはなり得ません.
a_1 = ... = a_m = 0 ならば w_1 = 0 ∈ V となってしまうから, という理由なのですが, きちんと証明できますか.

さて, a_1, ..., a_m の少なくとも 1 つは 0 ∈ K に等しくないのですが, その 1 つが a_1 とは限りません.
実際, a_1 = 0 という可能性は, 十分にあります.
それなのに, a_1 ≠ 0 と仮定しても一般性を失わないのですが, なぜでしょうか.
>After renumbering v_1, ..., v_m if necessary,
この作業が, その根拠となっています.
a_1 = 0 ならば, a_k ≠ 0 である k (2 ≦ k ≦ m) を選び, (a_1)v_1 と (a_k)v_k を取り替えてしまえばいいのです.

ここまで準備してから, (a_1)v_1 = w_1 - (a_2)v_2 - ... - (a_m)v_m と変形します.
体の定義は, 知っていますか.
体においては, 零元を除く任意の元が逆元をもちます.
ここでは, a_1 ≠ 0 なので, a_1 の逆元 (a_1)^-1 ∈ K が存在して, (a_1)(a_1)^-1 = (a_1)^-1(a_1) = 1 が成り立ちます.
4 行上の両辺に (a_1)^-1 を掛けると, v_1 = (a_1)^-1w_1 - (a_1)^-1(a_2)v_2 - ... - (a_1)^-1(a_m)v_m となります.
つまり, v_1 が w_1, v_2, ..., v_m の線型結合として表せるので, v_1 ∈ <w_1, v_2, ..., v_m> がいえました.
よって, <w_1, v_2, ..., v_m> = <v_1, w_1, v_2, ..., v_m> であり,
<v_1, w_1, v_2, ..., v_m> = <v_1, v_2, ..., v_m> = V であることと併せて,
<w_1, v_2, ..., v_m> = V と結論できます.
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f(x)=x^2を考えると、(1,4,9,16,25…→3,5,7,9…→2+1,4+1,6+1,8+1…)⊿x=f(x+1)-f(x)=2x+1
f(x)=x^3を考えると、(1,8,27,64,125…→7,19,37,61…→6+1,18+1,36+1,60+1…→3+3+1,6+12+1,9+27+1,12+48+1…)⊿x=f(x+1)-f(x)=3x+3x^2+1
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3a+9b+27c=174 6b+24c=132 b+4c=22 c=4 b=6 a=4
4a+16b+64c=368
⊿x=4x^3+6x^2+4x+1
どうやら係数は1-1,1-2-1,1-3-3-1,1-4-6-4-1…の奴と関係がありそう。

(2x+1)(2x+3)(2x+5)=8x^3+36x^2+46x+15
これが差分となる元の式を求めるのが問題。

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=(1/8)(16x^4+64x^3+56x^2-16x-15)
=2x^4+8x^3+7x^2-2x-15/8

8x^3+36x^2+46x+15
=2(4x^3+6x^2+4x+1)+24x^2+38x+13
=2(4x^3+6x^2+4x+1)+8(3x+3x^2+1)+14x+5
=2(4x^3+6x^2+4x+1)+8(3x+3x^2+1)+7(2x+1)-2
この係数が2,8,7,-2であることが関係していそうです。

-15/8については、定数であるので、Cの一部と考えれる気がします。
つまり、式の形を整えた時にCの一部である-15/8を利用した?

ここまでの流れを順番に整理すると、
∮ (2x+1)(2x+3)(2x+5) ⊿ x
=∮ (8x^3+36x^2+46x+15) ⊿ x
=∮ (2(4x^3+6x^2+4x+1)+8(3x+3x^2+1)+7(2x+1)-2) ⊿ x
=2x^4+8x^3+7x^2-2x+C
ここで
2x^4+8x^3+7x^2-2x
=(2x^4+9x^3+(23/2)x^2+(15/4)x)+(-x^3-(9/2)x^2-(23/4)x)
=(2x^4+9x^3+(23/2)x^2+(15/4)x)+(-x^3-(9/2)x^2-(23/4)x-15/8)+15/8
=((1/4)x-1/8)(8x^3+36x^2+46x+15)+15/8
=(1/8)(2x-1)(2x+1)(2x+3)(2x+5)+15/8
なので、
∮ (2x+1)(2x+3)(2x+5) ⊿ x
=2x^4+8x^3+7x^2-2x+C
=(1/8)(2x-1)(2x+1)(2x+3)(2x+5)+15/8+C
=(1/8)(2x-1)(2x+1)(2x+3)(2x+5)+C
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(和分・差分なるものを習ったことのない者です)
>⊿ x=f(x+1)ーf(x) より
つまり、xが1増えた時のf(x)の増加量を⊿xとしているわけですね。
f(x)=xを考えると、(1,2,3,4,5…→1,1,1,1…)⊿x=f(x+1)-f(x)=1
f(x)=x^2を考えると、(1,4,9,16,25…→3,5,7,9…→2+1,4+1,6+1,8+1…)⊿x=f(x+1)-f(x)=2x+1
f(x)=x^3を考えると、(1,8,27,64,125…→7,19,37,61…→6+1,18+1,36+1,60+1…→3+3+1,6+12+1,9+27+1,12+48+1…)⊿x=f(x+1)-f(x)=3x+3x^2+1
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(1)恒等式です。

(2) 左辺= x(x - 1) + x = x² - x + x = x²
なので、与式は恒等式ではありません。
これが成立するのは
 x² = 2x
より
 x(x - 2) = 0
よって、x=0 または x=2 のときのみ。

(3) 左辺= 2 + 1/(x + 1) = (2x + 2 + 1)/(x + 1) = (2x + 3)/(x + 1)
なので、与式は恒等式ではありません。
これが成立するのは、分母が等しいので
 2x + 3 = 3
より x=0 のときのみ。

(4) 左辺 = 1/x - 1/(x + 2) = (x + 2 - x)/[ x(x + 2) ] = 2/[ x(x + 2) ]
なので、与式は恒等式です。


2番目の問題:
 右辺 = (x - 3)(ax + b) + c
   = ax² + (b - 3a)x + c - 3b
なので、恒等式であるためには左辺の同じ次数の項の係数が同じである必要がある。
従って
  a = 2
  b - 3a = -7
 → b = -7 + 3a = -7 + 6 = -1
  c - 3b = 8
 → c = 8 + 3b = 8 - 3 = 5


3番目の問題:
 右辺 = a/x + b/(x + 1)
   = (ax + a + bx)/[ x(x + 1) ]
   = [ (a + b)x + a ]/[ x(x + 1) ]
なので、恒等式であるためには左辺の分子の同じ次数の項の係数が同じである必要がある。
従って
  a + b = 0
  a = 1
よって
  b = -a = -1

(1)~(4)は何をするのか、肝心な問題文がないのでわかりません。

(1)恒等式です。

(2) 左辺= x(x - 1) + x = x² - x + x = x²
なので、与式は恒等式ではありません。
これが成立するのは
 x² = 2x
より
 x(x - 2) = 0
よって、x=0 または x=2 のときのみ。

(3) 左辺= 2 + 1/(x + 1) = (2x + 2 + 1)/(x + 1) = (2x + 3)/(x + 1)
なので、与式は恒等式ではありません。
これが成立するのは、分母が等しいので
 2x + 3 = 3
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