ベクトルスペースVの元 v_1からv_mを基とし、
さらに、w_1からw_nもVの元とする。ただし、n>mである。 このとき、w_1からw_nが一次従属であることを示す。
w_1からw_n一次独立と仮定し、
v_1が基であることから、
w_1=a_1v_1+、、、a_mv_mより、
v_1=a^−1_1w_1−a^−1_1a_2v_2−、、、a^−1_1a_mv_mとなり、
これによって、w_1、v_2、、、v_mがVを生成すると言えるそうなんですがなぜですか?
またw_1がv_2からv_mの線形結合で書けることから何が言えるのですか?

質問者からの補足コメント

  • 丁寧に答えていただきありがとうございます。
    少し聞きたいことがあります。
    after renumberingの部分で質問なんですが、
    a_1=0とすると、a_k=0でない というのはわかります。
    a_1v_1+、、、a_kv_kで番号を入れ替えるとは、v_kをv_1にすることですか?それでa_1が0でないということにして良いのですか?最初にa_1が0ならって仮定しているのに、a_1が0でないということになるんですか?このへんがよく分かりません。

      補足日時:2017/07/16 17:55

A 回答 (3件)

>a_1=0とすると、a_k=0でない というのはわかります。


正確には, a_k = 0 とならない k (2 ≦ k ≦ m) が存在する, です.
もう少し詳しく書くと, a_k = 0 とならない k (2 ≦ k ≦ m) が「少なくとも 1 つ」存在する, ということです.

>a_1v_1+、、、a_kv_kで番号を入れ替えるとは、v_kをv_1にすることですか?
>それでa_1が0でないということにして良いのですか?
>最初にa_1が0ならって仮定しているのに、a_1が0でないということになるんですか?
ここはとても重要な部分なので, 丁寧に説明します.
{v_1, ..., v_m} は V の基底であり, V の任意の元は v_1, ..., v_m の線型結合として表せます.
ただし, その表し方は 1 通りしか存在しません.
今回の例では,
w_1 = (a_1)v_1 + (a_2)v_2 + ... + (a_m)v_m
と表せますが, a_1, a_2, ..., a_m の選び方に自由は無く, 仮に
w_1 = (b_1)v_1 + (b_2)v_2 + ... + (b_m)v_m とも表せるならば,
a_1 = b_1, a_2 = b_2, ..., a_m = b_m がすべて成り立ちます.

以上のことから, 番号の付け直しに関して, v_1 と v_k だけを取り替えることは許されません.
当然, a_1 と a_k も取り替える必要があります.
w_1 = (a_1)v_1 + (a_2)v_2 + ... + (a_k)v_k + ... + (a_m)v_m であるのに, v_1 と v_k だけを取り替えると,
w_1 = (a_1)v_k + (a_2)v_2 + ... + (a_k)v_1 + ... + (a_m)v_m となり, 両者を比較することにより,
a_1 = a_k と結論できてしまいます.
しかし, a_1 = 0 かつ a_k ≠ 0 と仮定したのだから, a_1 = a_k が成り立つはずがありません.

まとめると,
それまで v_1 だったものを v_k と名称変更し, v_k だったものを v_1 と名称変更します.
さらに, それまで a_1 だったものを a_k と名称変更し, a_k だったものを a_1 と名称変更します.
「名称変更」とは, 当然「番号の付け直し」と同義です.
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えっと, まだ Theorem 3.1. に関しては, 証明の途中です.


補足質問を繰り返し(質問 → 回答, のたびに締め切るのではなく), 証明を完成させることを強くお勧めします.
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>Let V be a vector space over the field K.


「V を体 K 上のベクトル空間とする」
これは, 誰が訳しても同じになる, いわゆる定番表現です.
この場合, 体 K をベクトル空間 V の「基礎体」といいます.

>Let {v_1, ..., v_m} be a basis of V over K.
基礎体はすでに K と分かっているので, "over K" は訳出しないことも可能です.
"a basis of V" と, 不定冠詞の a が使われており, 定冠詞の the ではないことは, 数学的にも意味をもちます.
ベクトル空間 V の基底, つまり basis が, {v_1, ..., v_m} だけではない, というニュアンスを含んだ表現になっています.

>Let w_1, ..., w_n be elements of V,
w_1 だけなら, Let w_1 be an element of V, となるところです.
elements のような無冠詞複数形は, 直前に「目に見えない不定冠詞」がある, と考えられます.
ただし, 不定冠詞 a や an と違って「ひとつの」という意味をもちません.

>and assume that n > m.
最初からずっと命令文が続いていますが, 訳すときは命令口調を採用しません.

>Then w_1, ..., w_n are linearly dependent.
この定理の「結論」に該当する部分です.
n > m = dim V なので, w_1, ..., w_n が線型従属なのは誰でも知っていることですが, 証明するとなると難度が上がります.

{v_1, ..., v_m} は基底ですから, V の任意の元は, v_1, ..., v_m の線型結合として表せます.
よって, 適当な a_1, ..., a_m ∈ K を用いて, w_1 = (a_1)v_1 + ... + (a_m)v_m と書けます.

>Proof. Assume that w_1, ..., w_n are linearly independent.
要するに, 背理法を用いて証明する, ということです.
w_1, ..., w_n が線型独立と仮定したので, w_1, ..., w_n のどれもが零ベクトルではありません.
零ベクトルを含む 1 個, または複数個のベクトルは, 必ず線型従属です.
ちなみに, なぜだか分かりますか.

w_1 ≠ 0 = 零ベクトル, なので, a_1 = ... = a_m = 0 ∈ K とはなり得ません.
a_1 = ... = a_m = 0 ならば w_1 = 0 ∈ V となってしまうから, という理由なのですが, きちんと証明できますか.

さて, a_1, ..., a_m の少なくとも 1 つは 0 ∈ K に等しくないのですが, その 1 つが a_1 とは限りません.
実際, a_1 = 0 という可能性は, 十分にあります.
それなのに, a_1 ≠ 0 と仮定しても一般性を失わないのですが, なぜでしょうか.
>After renumbering v_1, ..., v_m if necessary,
この作業が, その根拠となっています.
a_1 = 0 ならば, a_k ≠ 0 である k (2 ≦ k ≦ m) を選び, (a_1)v_1 と (a_k)v_k を取り替えてしまえばいいのです.

ここまで準備してから, (a_1)v_1 = w_1 - (a_2)v_2 - ... - (a_m)v_m と変形します.
体の定義は, 知っていますか.
体においては, 零元を除く任意の元が逆元をもちます.
ここでは, a_1 ≠ 0 なので, a_1 の逆元 (a_1)^-1 ∈ K が存在して, (a_1)(a_1)^-1 = (a_1)^-1(a_1) = 1 が成り立ちます.
4 行上の両辺に (a_1)^-1 を掛けると, v_1 = (a_1)^-1w_1 - (a_1)^-1(a_2)v_2 - ... - (a_1)^-1(a_m)v_m となります.
つまり, v_1 が w_1, v_2, ..., v_m の線型結合として表せるので, v_1 ∈ <w_1, v_2, ..., v_m> がいえました.
よって, <w_1, v_2, ..., v_m> = <v_1, w_1, v_2, ..., v_m> であり,
<v_1, w_1, v_2, ..., v_m> = <v_1, v_2, ..., v_m> = V であることと併せて,
<w_1, v_2, ..., v_m> = V と結論できます.
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