質点系での運動エネルギーについて 質点系のもつ全運動エネルギーEについて考える。 ↑riを原点から見

質点系での運動エネルギーについて



質点系のもつ全運動エネルギーEについて考える。
↑riを原点から見た各質点の位置ベクトル
↑rGを質点系の重心
↑r'iを重心から見た各質点の位置ベクトル
とすると
↑ri=↑rG+↑r'i

ここで、なぜ質点系の運動エネルギーを求める時、わざわざ重心と重心から見た位置ベクトルに分けて考えるのですか？

単に各質点の原点から見た位置ベクトルで表せばいいのでは❓と思ったのですが、どなたか理由を教えてください❗️

質問者からの補足コメント

• いま、書いていて思いついたのですが、端的に言えば「式が簡単になる」からでしょうか？
  重心はそこにあたかも系の全質量が集まっているようにみなせる、すなわち、1質点とみなすことができるのでΣで表す部分を減らせるということでしょうか？

    補足日時：2017/07/19 23:57

No.4 ベストアンサー 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2017/07/20 21:03

質点系は、簡単に言うと、普通の物体の事です(^^)

質点は、力学を考える上で出てきた、ある意味、理想化された物体ですね(´∀｀)
この質点から普通の物体（大きさと形がある）を構築すると、質点の集まり、つまり質点系ってなるんですね(´ω｀*)
普通の物体に対して、質点という考えだけを使って考えようとすると、凄く面倒な事になります(・ε・´)
例えば、実際に存在するボール１個の運動エネルギーを求めるにも、
ボールを質点と見なせるくらいに細かく切り分けて、各質点の運動エネルギーの和と考えると大変ですよね(～～;)
質点系の考えは、そんな事しなくても、重心の運動エネルギーを求めるだけで十分だって教えてくれるんですね（ボールが変形などしない場合）(◎◎！)
ボールが変形する場合でも、質点系の運動エネルギーは　（重心の運動エネルギー）＋（重心にに対する各質点の運動エネルギー）　ですから、
重心の運動エネルギーを求めた後、ボールは静止している状態で（重心が静止している状態で）、ボールがグニョグニョ変形するって考えて、
ボール全体の運動エネルギーを求めていいよって事を言っている訳です(・ー・)
これをボールがグニョグニョ変形しながら飛んでいて（重心が移動している）その各質点の和が運動エネルギーって考えると、面倒もいいところですよね(＞＜；)
ですから、「式が簡単になる」というよりは、考え方を単純化させるために、こう言う事を考えるんですね(^^v)

この回答へのお礼

うーん、なるほど❗️
たしかに、単純に考えられるようになりますね！

もしよかったらですが、僕の質問公開しましたので、大学院進学の質問について意見いただけると嬉しいのですが
お時間ありましたらでよいので、回答してくれるとうれしいです

お礼日時：2017/07/20 21:34

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/07/21 08:32

>Σ(1/2)mivi^2 =(1/2)Σ(1/2)mivi^2

>= (1/2)Σ(1/2)mi(vg+v'i)^2

(1/2)が余分に入っているところあるけど
気にしないで下さい(^-^;

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/07/21 01:53

便利で美しいからでしょうね。

実際にやってみましょう。
重心は rg = Σmiri/Σmi とすると(Σは i に関する和)

r'i = ri-rg とすると
Σmir'i = Σmiri-Σmirg = 0;

これを時間で微分して

d(Σmir'i)/dt = Σmidr'i/dt = Σmiv'i = 0 (v'i = dr'i/dt)

系全体の運動エネルギーは

Σ(1/2)mivi^2 =(1/2)Σ(1/2)mivi^2
= (1/2)Σ(1/2)mi(vg+v'i)^2
=(1/2)Σmivg^2 + Σmiv'i + (1/2)Σmiv'i^2
第2項は 0 だから
=(1/2)Σ(1/2)mivg^2 + (1/2)Σ(1/2)miv'i^2

つまり、系全体のエネルギーは、系全体の質量が集まった1個の質点が
重心の速度で動いている場合の運動エネルギーと、
重心が止まって見える座標系から見た、全質点のエネルギーの和になる。

これは、後で剛体を扱う場合、剛体の運動エネルギーは、剛体の
並進運動エネルギーと回転エネルギーの和になるというのに
繋がります。

角運動量などを扱うときにも便利なので、覚えておいて損なし。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2017/07/20 09:56

No.1&2です。

「補足」に書かれたことについて。

＞端的に言えば「式が簡単になる」からでしょうか？

「式が簡単になる」というよりは、「考え方、モデル化が簡単になる」ということです。「式が簡単になる」のはその結果です。

太陽と地球の関係、地球と月の関係、地上の「りんご」に働く力など、「みかけ」や「大きさ」が違っても「同じ法則」でモデル化できれば、取り扱いが非常に簡単になります。

「いろいろあって、ごちゃごちゃしている」ものを、「整理してすっきりさせる」というのは、実生活でもけっこう大事です。
今悩んで混乱していることを、「明日までの宿題」と「バイト」と「恋愛」と「お金のこと」にそれぞれ分けると、対応方針や優先順位が見えてきますよね。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2017/07/20 00:04

No.1です。

こんなサイトを参考にしてください。
http://wakariyasui.sakura.ne.jp/p/mech/gou/gouta …
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%89%9B%E4%BD%93 …

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2017/07/20 00:01

質点系の運動は、

（１）全質量が重心にあるとみなした「並進運動」
（２）重心を中心とした「回転運動」
に分けられるからです。

「回転運動」がない、あるいは影響がないとみなせる場合には、その質点系の運動は「重心」の運動で代表されます。
例えば、太陽の周りの地球の運動や、地球の周りの月の運動は、その「中心」に全質量があるとして計算できます。

自転は自転として、地球中心、月の中心を基準に考えればよいのです。（地球に自転を考えるときには、太陽や月の存在はほぼ無視できる。「海の潮汐」のような影響はありますが、その影響は小さい）