cos^2 x ≠ cos qπ が任意の有理数qについて成り立つ実数x

cos^2 x ≠ cos qπが任意の有理数qで成り立つような実数xにはどんなものがありますか?

x=π/8が一つの解みたいですが、それすらどうやって示したらいいのかわかりません。。。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2017/07/23 14:02

ご質問の条件を満たすxについて

　　y = cos^2 x　　…(1)
を考えれば、明らかに
　　0≦y≦1 …(2)
　　∀q(q∈Q ⇒ y≠cos (qπ)) …(3)
であるし、逆に(2)と(3)を満たす実数yならどれでも(1)を満たす実数xが存在して、ご質問の条件を満たす。
　つまり(1)の条件はただのコケオドシであって、「(2)(3)を満たすyは？」というのが、本当の問題だということです。

　ところで、
　　1＜q＜2 ならcos(qπ)＜0 だから、(2)を満たすyについy≠cos (qπ)は明らか。さらに、
　　cos(qπ) = cos((q+2)π) = cos(-qπ)
だから、(3)は0≦q≦1 となる有理数だけ考えれば良いことが分かります。すなわち
　　∀q((q∈Q ∧ 0≦q≦1) ⇒ y≠cos (qπ)) …(3')
としても(3)と同じ。（"∧"は "and"を意味する記号です。）
　さらに、0≦q≦1の範囲においてcos(qπ)は単調減少なので、もし
　　y = cos(qπ)
ならばcosの逆関数Acosを使って（0≦q≦1に入る）qは
　　q = Acos(y) / π
と一意的に表せる。

　さて、0≦z≦1を満たす勝手な無理数zをひとつ決めて
　　y = cos(zπ)
とすれば、y は明らかに(2)を満たす。また、もし
　　y = cos(qπ)
と0≦q≦1とをともに満たす有理数qが存在するなら、
　　q = Acos(y)/π = z
となって矛盾。なので、yは(3')も満たします。

　だからこのyについて(1)の解になるxはご質問の答である。

　ちなみに1≦z≦2を満たす勝手な無理数zについても、
　　y = -cos(zπ)
とすれば、y が(2)と(3')を満たすのは明らか。

　両方まとめれば、
「0≦z≦2を満たす勝手な無理数zについて、
　　y = |cos(zπ)|
とすれば、y は(2)と(3')を満たす。」
そして、もちろん
　　cos(zπ) = cos((z+2)π)
だから、「0≦z≦2を満たす」という条件は不要である。すなわち、

「勝手な無理数zをひとつ決めて
　　y = |cos(zπ)|
とすれば、このyについて(1)を満たすxがご質問の答」

ということです。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

要約すると、u=cos(v)という関数が、ある区間内でu-vに一対一対応するから、無理数zと有理数qでcos(zπ)≠cos(qπ)となるということですね。良くわかりましたが、少し私の質問の意図とは異なりました。

実はこの問題は量子回路のUniversalityに関する問題でして、特に学校の課題というわけではありません。ちょっと個人的に気になった問題を数学的に書いて質問した次第です。

私が知りたかったのは、具体的なxの形になります。例えばx=π/8として、
cos^2(x)=cos(aπ)
をaについて解くと、なぜaが無理数と言えるか、というところです。
また、他にはどのようなxがあるでしょうか？x=π/4は明らかにaが有理数となりますが、例えばx=π/16とするとaは無理数になるのでしょうか。

質問の仕方が少し悪かったかもしれません。申し訳ありません。

お礼日時：2017/07/24 00:02