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物理学の問題について

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質問者：ラステル
質問日時：2017/07/23 15:41
回答数：1件

月は地球のまわりを廻っており，1 周には 27.3 日を要する。月の軌道が半径 3.85×108 m の円であるとすると、月が地球の方向に受ける加速度の大きさはいくらか。地表の重力加速度 g = 9.8m/s^2との比較で答えなさい。

という問題で、自分はケプラーの第三法則
惑星の公転周期の二乗は、円軌道半径の三乗に比例する
ということから求めるのだと思ったのですが計算してみると答えがおかしくなってしまいました。
また、「重力加速度との比較で答えなさい」の意味が分かりませんでした。

答えとともに解説していただける方お願いします。

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回答 (1件)

No.1ベストアンサー

回答者： yhr2
回答日時：2017/07/23 15:54

「円軌道」として、ケプラーの第三法則は

　r^3 / T^2 = GM/(4π^2)
ですね。月の公転半径を a とすれば、地球の質量：M1として
　a^3 / T^2 = G*M1/(4π^2)　　　①

問題自体は、万有引力を
　F = GMm/r^2　　　　②
として、月の位置で働く月と地球との万有引力（地球の質量：M1, 月の質量：M2）
　Fm = G*M1*M2/a^2　　　③
を、地球の地表位置 R での万有引力
　mg = G*M1*m/R^2　　　④
と比較せよと言っているのですね。
④より
　g = G*M1/R^2
　G*M1 = g*R^2
ですから、②は
　Fm = g*M2*R^2/a^2 = g*M2*(R/a)^2

月の質量、地球の半径が分かれば計算できます。
「周期」は関係しないと思います。

一方、月が半径 a で円運動するための向心力は
　Fc = M2*a*ω^2　　　　⑤
で、これが③とつり合っていることから
　M2*a*ω^2 = G*M1*M2/a^2
よって
　ω^2 = G*M1/a^3　　　　⑥
角速度 ω に対する「周期：T」は
　ω = 2π/T　　　　⑦
なので、⑥は
　(2π/T)^2 = G*M1/a^3
つまり
　a^3 /T^2 = G*M1/(2π)^2　　　⑧
これが「ケプラーの第三法則」ですね。

③を求めるために、「つり合っている」相手方の⑤を計算してもよいです。⑦を⑤に代入して
　Fc = M2*a*(2π/T)^2　　　　⑨
になるかな。ここに⑧から
　T^2 = a^3 /[G*M1/(2π)^2]
を代入すれば
　Fc = M2*a*(2π)^2 *[G*M1/(2π)^2] / a^2 = G*M1*M2 /a^2
で③と同じになりますね。
つまり、⑨を使って「周期」から求めても、結果は同じはずです。

以上より、「ケプラーの第三法則」を使おうが「万有引力」を使おうが円運動の向心力を使おうが、結果は同じだと思います。
もし違っているなら、何か計算間違いをしているのではありませんか？
月の公転周期を「秒」にするのを忘れているとか。