物理数学 曲面の媒介変数表示 いま、物理に必要な数学で曲面積分について勉強しているのですが、どうやら

物理数学 曲面の媒介変数表示


いま、物理に必要な数学で曲面積分について勉強しているのですが、どうやら曲面はz=f(x,y)以外にも二つの媒介変数u,vを使って二変数ベクトル関数
↑r=↑r(u,v)でも表すことができるということを初めて知りました。
また、このときx,y,zはu,vの関数となり、
x=x(u,v) y=y(u,v) z=z(u,v)
となっているようです。

ここまでで疑問なのですが、なぜ曲面を２つの媒介変数で表現できるのでしょうか❓
また、なぜいきなりベクトル関数になったのですかね？

いまいち、よくわからないのですができるだけガチガチの数学で説明するよりも厳密性を欠いてもいいのでわかりやすく説明していただけないでしょうか❓

質問者からの補足コメント

• https://gyazo.com/907d007b115d071a7cdbf64b9ad953b7
  
  ２つの変数を指定すると曲面上の点が定められるということですから、上のような図を描いてみたのですが、二つの媒介変数とは、「曲線」のことを言っているのでしょうか？
  ２つの曲線を指定すれば、その曲線の交点が得られる。つまり、その交点が曲面上の点である。また、２つの曲線を指定すれば、3次元空間内での座標も決まるので、x,y,zは媒介変数u,vの関数となる。という解釈でいいであっているでしょうか？

    補足日時：2017/09/01 21:51

No.3 ベストアンサー 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2017/09/05 19:03

補足コメントの様な考えでいいと思います(^^)

まず、曲線の場合は、媒介変数をt とすると
x=x(t),y=y(t),z=z(t)
となりますから、t が１つ決まると、空間内の点が１つ決まります
ですから、t が変化すると、それにともなって空間内の点が動く事になります・・・
・・・だから曲線は媒介変数１つで表せるということですね
言い換えると、媒介変数t は曲線に沿った”座標”の働きを持っているとも言えますね
これは、曲線がxyz空間で描かれていたとしても、（曲）線は１次元ですから、１つの変数（媒介変数）で表されて当然ですね

曲面の場合も同様に考察すれば、媒介変数が２つ必要だと分かると思います
x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)
として、例えばv=1 としてしまいます
vを決めてしまったので、x=x(u),y=y(u),z=z(u) と同等で、これは曲線を表す事になりますね
そこで、v=2のとき、v=3のとき・・・で曲線を描いていくと、曲線がv の値によって移動することが分かると思います（ただし、平行移動になるとは限りませんので注意して下さいね）
vを連続的に変化させると、曲線が連続的に移動して、この曲線が”掃く”図形は（曲）面になる事が想像できると思います
だから、曲面は２つの媒介変数で表現できるんですね

このように見ると、媒介変数u,vは曲面に沿った”座標”を表していると見る事ができますね
曲面は３次元空間で描かれていたとしても、２次元ですから、最低でも２つの変数が必要だと言う事が分かると思います

＞なぜいきなりベクトル関数になったのですかね？

これは、ベクトルの方が扱いやすいからです
曲線を扱うときは接ベクトル（接線ベクトル）、曲面を扱うときは接平面が大切になりますが、
z=f(x,y)のような形では、それらが求めにくいって事です
曲面では面倒なので、曲線で説明しますと、xyz空間での螺旋の式は、媒介変数θを用いて
x=acosθ　y=asinθ　z=bθ　　a,b:定数
で表されます。すると、この螺旋の接線ベクトルは
(dx/dθ,dy/dθ,dz/dθ)=(－asinθ,acosθ,b)　となります・・・簡単ですね
（曲線の長さsを媒介変数にとって、(dx/ds,dy/ds,dz/ds)を計算すると”単位”接線ベクトルになりますが、ここでの計算結果は長さが１とはならない接線ベクトルが出てきます）
しかし、螺旋の式から媒介変数θを消去して、x,y,zの関係を求める事も面倒ですし、
この式から接線の式を求めるのも大変だと思います・・・暇があったらやってみて下さい

高校数学では、媒介変数を使う事は少ないと思いますが、螺旋の式から分かるように、媒介変数を使う方が曲線・曲面では便利って事ですね(^^)

この回答へのお礼

>>ただし、平行移動になるとは限らない

そうなんですね！頭に入れておきます

確認していただいたおかげで、考えをほぼ固めることができました！

また見かけましたらよろしくお願いいたしますm(_ _)m

お礼日時：2017/09/05 19:13

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2017/09/04 10:59

曲面はz=f(x,y)ということは、その点の位置ベクトルが

↑r=xｉ＋yｊ＋f(x,y)ｋ　（ｉｊｋは座標軸の単位ベクトル）と表わせるから
↑r=↑r(ｘ,ｙ)　という２変数の関数になってますけどね。
主さんは、高校で曲線を1個の媒介変数で表わされるのを習ったと思いますけど
曲面は２個の媒介変数で表わされるのです。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/09/02 07:32

う~ん、数学的にすっきりした説明はできませんが、空間の点に対して

隣接する点を求めるのに同時に動かせるパラメータが3つないと、直感的に
中味のつまった立体を表すのは無理だろうなぁ~とは思います。

きっと解析学にもっとましな説明があるかもしれません。

因みに z=f(x,y) は、(x, y, z)=(u, v, f(u, v)) と同等ですよね。