三角形ABCにおいて、（b+c）:（c+a）:（a+b）=4:5:6のとき、Aを求めよ、という問題教

三角形ABCにおいて、（b+c）:（c+a）:（a+b）=4:5:6のとき、Aを求めよ、という問題教えてください！
正弦定理と余弦定理の応用というものです。
高校一年生です、

質問者からの補足コメント

• 答えは120度となっているのですが、、、お願いします！！！

    補足日時：2017/09/29 01:20

No.2 ベストアンサー 回答者： cruelman 回答日時： 2017/09/29 04:17

（b+c）:（c+a）:（a+b）=4:5:6 = 8k:10k:12k (kは正の実数)

と置く。これをa,b,cについて解くと
a=7k
b=5k
c=3k
これらを余弦定理に当てはめてcosAについて解くと
cosA = -1/2
故にAは120度

この回答へのお礼

ありがとうございます！！！
本当に助かりました！！

お礼日時：2017/09/29 19:24

No.1 回答者： 栗御飯.youtube 回答日時： 2017/09/29 03:01

以下のように解きます。

△ＡＢＣにおいて、”ｓｉｎＡ：ｓｉｎＢ：ｓｉｎＣ＝４：５：６”
なので、”ｓｉｎＡ：ｓｉｎＢ：ｓｉｎＣ＝４：５：６＝ｋ”
(ｋ：実数、ｋ≠０)とおきます。
”ｓｉｎＡ＝４ｋ、ｓｉｎＢ＝５ｋ、ｓｉｎＣ＝６ｋ”になります。

△ＡＢＣにおいて、正弦定理が成り立つので、
”ＡＢ＝ｃ、ＢＣ＝ａ、ＣＡ＝ｂ”、また、外接円の半径を
Ｒとおきます。(Ｒ＞０)
ａ／ｓｉｎＡ＝ｂ／ｓｉｎＢ＝ｃ／ｓｉｎＣ＝２Ｒ、よって、
ａ＝２Ｒ・ｓｉｎＡ＝８Ｒｋ
ｂ＝２Ｒ・ｓｉｎＢ＝１０Ｒｋ
ｃ＝２Ｒ・ｓｉｎＣ＝１２Ｒｋ

(１)ｃｏｓＡ＝(ｂ²＋ｃ²－ａ²)／(２ｂｃ)
＝{(１０Ｒｋ)²＋(１２Ｒｋ)²－(８Ｒｋ)²}／{２・(１０Ｒｋ)・(１２Ｒｋ)}
＝１８０／２４０＝３／４

(２)(１)より、”Ｒ＝４”とすると、”ａ＝３２ｋ、ｂ＝４０ｋ、ｃ＝４８ｋ”
になります。この後、２通りの方法があります。
その１：(ｓｉｎＡ)²＝１－(ｃｏｓＡ)²＝１－(３／４)²＝７／１６
△ＡＢＣにおいて、”０＜Ａ＜π”より、”ｓｉｎＡ＞０”、よって、
ｓｉｎＡ＝(√７)／４＝４ｋ、ｋ＝(√７)／１６
ｂ＝４０ｋ＝(５√７)／２、ｃ＝４８ｋ＝３√７
よって、△ＡＢＣ＝(１／２)・ｂｃ・ｓｉｎＡ
＝(１／２)・{(５√７)／２}・(３√７)・{(√７)／４}＝(１０５√７)／１６
その２：ヘロンの公式を用います。
”ａ＋ｂ＋ｃ＝２ｓ”とおきます。
ｓ＝(ａ＋ｂ＋ｃ)／２＝(３２ｋ＋４０ｋ＋４８ｋ)／２＝６０ｋ
ｓ－ａ＝６０ｋ－３２ｋ＝２８ｋ
ｓ－ｂ＝６０ｋ－４０ｋ＝２０ｋ
ｓ－ｃ＝６０ｋ－４８ｋ＝１２ｋ
よって、△ＡＢＣ＝√{ｓ(ｓ－ａ)(ｓ－ｂ)(ｓ－ｃ)}
＝√(６０ｋ・２８ｋ・２０ｋ・１２ｋ)＝(２４０√７)・ｋ²
＝(２４０√７)・{(√７)／１６}²＝(２４０・７√７)／１６²
＝(１０５√７)／１６

如何でしょうか

この回答へのお礼

ありがとうございます！！
とても助かりました！！

お礼日時：2017/09/29 19:23