数学II 三角関数の加法定理 sin(α+β) についてわからないところがあります。 白チャートの1

数学II 三角関数の加法定理 sin(α+β) についてわからないところがあります。

白チャートの192ページに

cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ

の公式のαをπ/2–αに置き換えて

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

と式変形しているところがありました。

数式を見れば確かに納得できるのですが、
単位円で理解しようと思って
上側の写真のα−βのαをπ/2–αに置き換えて
{π/2-(α+β)}を単位円上で表そうとしました。

しかし、このπ/2–αをどのように表せば分かりません。

始線から90進めてα分戻る...というやり方でπ/2–α表そうとしましたが
下側の写真にように(？マークがついているやつです)どちらが π/2–αなのかわからないのです。
正しいπ/2–αの表し方を教えて下さい。

あと、そもそもなのですが上側の写真から見て αは明らかにα>90なのに、数学Iで直角三角形と三角形の和が180である性質利用したうえで出てきたπ/2-θ=θがなぜ使えるのかもわかりません。
π/2-θ=θの公式で鈍角のαがなぜ使えるのかも教えて下さい。



こういった図形の公式は図で(できれば数学I〜数学IIの範囲で)理解したいのですが、中には数式の上で存在するのであって図で表せられないものもあるのでしょうか...。

拙い説明でしたがどうか回答をよろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/10/16 05:27

sinθ=cos(π/2 -θ)

実はこの式は、0≦θ<2π で成り立ちます。
図で考えるのであれば、
sinθは、角度0から左回りに考えて、そのyの値。
cos(π/2 -θ)は、角度π/2から右回りに考えて、そのxの値。
不思議に思うのかもしれませんが、
少しずつ回転させて確認しながら一周してみれば納得してもらえると思います。


さてこれを踏まえた上で、
cos(α-β) =cosα・cosβ+sinα・sinβ
この式のαをπ/2–αに置き換えてみましょう。
cos(π/2 -α-β) =cos(π/2 -α)・cosβ+sin(π/2 -α)・sinβ
cos{π/2 -(α+β)} =cos(π/2 -α)・cosβ+sin(π/2 -α)・sinβ

ここで、0≦θ<2π で sinθ=cos(π/2 -θ) が成り立つので、
cos{π/2 -(α+β)} =sin(α+β)
cos(π/2 -α) =sinα
sin(π/2 -α) =cos{π/2 -(π/2 -α)} =cos(π/2 -π/2 ＋α) =cosα
と変形できるわけですから、
cos{π/2 -(α+β)} =cos(π/2 -α)・cosβ+sin(π/2 -α)・sinβ
に代入して
sin(α+β) =sinα・cosβ+cosα・sinβ
が導かれるのです。


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π/2 –α の考え方ですが、
角度0からスタートしようとするからわからなくなるのです。
スタート地点が角度π/2、そこから右回りにαで考えてみてください。
角度0からα回転させていたものを
角度π/2から-α回転させるものへ置き換えたわけですからね。

そして最終的に角度を測るときは、角度0からです。
0から相対的な角度で測るわけです。

描かれた下の図で説明すると、
y軸から角度-α回転させたものがＡであり、
x軸(角度0)から角度π/2 –αの分だけ回転させたものがＡということになります。

この回答へのお礼

やっとわかりました！
ありがとうございました！！

お礼日時：2017/10/17 11:48