関数の問題です。解き方を教えてください。 平面上に点P(1,3)がある。なお、設問中のkは正の実数と

関数の問題です。解き方を教えてください。


平面上に点P(1,3)がある。なお、設問中のkは正の実数とする。

(1) 点Pを通り、傾きがkの直線①の方程式を求めなさい。
(2) 点Pを通り、直線①に垂直な直線②の方程式を求めなさい。
(3) 直線①がx軸と交わる点をＱ、直線②がx軸と交わる点をＲとするとき、△PQRの面積の最小値を求めなさい。

ちなみに答えは
(1)y=kx+(3-k)
(2)y=-1x/k+(3+1/k)
(3)9
です。書き方あってなかったらすみません…

サッパリです…解き方を詳しく
教えてください（ *_* ）

No.1 回答者： mathstudent 回答日時： 2017/11/21 13:54

(1)

公式：(a,b)を通り傾きkの直線の式は、y-b=k(x-a)

(2)

直交する２つの直線の傾きの積は１になるので、傾きは-1/kとなります。あとは(1)と同様です。

(3)

面積をとりあえずkの式で表してください。あとは相加・相乗平均の不等式などを使って解いてください。

No.2 回答者： jyuguritto 回答日時： 2017/11/22 11:39

(1) 点Pを通る傾きkの直線式はy=kx+b

bは？　その時はyに点Pの座標の値を代入します。なぜならy₌の式は点Pでも成立するからです。
　　y=kx+b
　　3=k+b
　　k=3-k だから
　　y=kx+3-k
(2) これは図で説明します。
　　与式を y1=ax+b とすると、直角に交わる線とは図で分かる通り、傾きが（xとyが入れ替わる）変わり符号が－
　　になります。したがってy2は
　　y2＝－(1/k)x+c
P 点の座標を代入すると
　　3=-1/k+c
　　c=3+1/k
　　y2＝－(1/k)x+(3+1/k)
直線①がx軸と交わる点をＱ、直線②がx軸と交わる点をＲ
　　y1=kx+3-k　y1=0とすると
　　kx=k-3
　　x=1-3/k
　　Qの座標は（1-3/k,0)

　　同様に　　
　　(1/k)x=(3+1/k)
　　x=3k+1
Rの座標は（3+1/k,0)
(3)△PQR の底辺は
　　(3k+1)-(1-3/k)
　　=( 3k²+k-k+3)/k
　　=(3k²+3)/k
　　=3((k-1)²+2k)/k
　　 最小値をとるのはk=1
　　その時の底辺は
　　3(2/1)=6
　　△PQR の面積は底辺×高さ
　　S=(3×6)/2=9

以上です。

No.3 回答者： springside 回答日時： 2017/11/23 22:19

点(a,b)を通り、傾きがmの直線はy-b=m(x-a)です。

傾きがmの直線に垂直な直線の傾きは-1/mです。

(1)
y-3=k(x-1)
∴y=kx+3-k

(2)
y-3=(-1/k)(x-1)
∴y=(-x/k)+3+(1/k)

(3)
直線①でy=0とするとx=1-(3/k)なので、点Qの座標は(1-(3/k),0)　（注：k>0だから分母は0にならない）
直線②でy=0とするとx=3k+1なので、点Rの座標は(3k+1,0)

△PQRにおいて、底辺をQRとすると、QR=|{1-(3/k)}-(3k+1)|=3(k+1/k)　（∵k>0）
高さは点Pのy座標に等しいから、3

よって、△PQRの面積Sは、

S=(1/2)･3(k+1/k)･3
=(9/2)(k+1/k)
≧(9/2)･2√{(k･(1/k)}　(∵k>0より、相加平均･相乗平均の関係による。等号はk=1/kのとき、つまり、k=1のとき）
=9

よって、△PQRの面積の最小値は9 (k=1のとき)

注：No.2さんの、
>>=3((k-1)²+2k)/k
>>　 最小値をとるのはk=1
の部分は誤りです。分母にkが入っているので、分子の2次式だけを見て最小値がk=1のときとは言えません。