No.3ベストアンサー
- 回答日時:
aは定数とする。
cos^2 (X)+2asinX-a-1=0の0≦X<2πにおける異なる実数解の個数を求めよt=sinXとすると、cos^2 (X) = 1-sin^2 (X) = 1-t^2だから、
f(t) =1-t^2+2at-a-1=-t^2+2at-a=-(t-a)^2+ a^2-a__(1)
y= f(t)のグラフの放物線の頂点の座標は(a,a^2-a)である。
①tが変化する範囲は、-1≦sinX≦1 だから
-1≦t≦1__(2)
である。
②tとXの関係(図の上のグラフ参照): f(t) =0の解tがある時、t=sinXとなるXは1個または2個である。
t=1の時は、これに対応するXの値はX=π/2の1個,また、t=-1の時はX=3π/2の1個である。
-1<t<1のときは。これに対応するXの値は2個ある。
0<t<1の時、X1=arcsin(t)とX2=π-arcsin(t) の2個である。
-1<t<0の時、X3=π-arcsin(t) とX4=2π+arcsin(t)との2個である。
③f(t) =0の解の個数(図の下のグラフ参照) (i)左のグラフ(ii)中のグラフ(iii)右のグラフの3通りに分ける。
(i)左のグラフ:放物線の頂点の座標aが、tの変化する範囲の内側にある場合は、
-1<a<1__(3)
この場合は、f(-1) <0,f(a)>0,f(1) <0であれば、f(t) =0は異なる2個の根がある。
その条件はf(-1) =-3a-1<0よりa>-1/3,f(a) =D/4=a^2-a =a(a-1) >0より,a<0またはa>1,
f(1) = a-1 <0よりa<1。この条件がすべて成り立つためには(4)の条件となる。
-1/3<a<0__(4)
このとき、f(t) =0は異なる2個の根があり、tの2個の根に対応するXは4個となる。
式(4)のaの限界値として
a=-1/3__(5)
の時は、f(t) =-t^2-2t/3+1/3=-(t+1)(t-1/3)=0よりt=-1とt=1/3となる。t=-1に対応するXは1個しかないので、t=1/3に対応する2個のXと合わせて、Xの解は3個となる。
式(4)のもう一方のaの限界値として
a=0__(6)
の時は、f(t) =-t^2=0よりt=0となる。t=0に対応するXは2個あるので、Xの解は2個となる。
(ii)中のグラフ:f(-1) =-3a-1>0,f(1) = a-1 <0であれば、f(t) =0は1個の根がある。
その条件はf(-1) =-3a-1>0よりa<-1/3,f(1) = a-1 <0より,a<1。この条件がすべて成り立つためには(7)の条件となる。
a<-1/3__(7)
この時f(0) =-a>1/3だから、f(t) =0の根は0<t<1の間に根がある。Xの解は2個である。
(iii)右のグラフ; f(-1) =-3a-1<0,f(1) = a-1> 0であれば、f(t) =0は1個の根がある。
その条件はf(-1) =-3a-1<0より,a>-1/3。f(1) = a-1> 0より,a>1。この条件がすべて成り立つためには(8)の条件となる。
a>1__(8)
この時、f(0)=-a<-1だから、f(t) =0の根は0<t<1の範囲にある。Xの解は2個である。式(8)の限界値a=1__(9)
この時f(t) =-t^2+2t-a=-(t-1)^2=0はt=1が根で、X=π/2で、Xの解の個数は1である。
④(i)(ii)(iii)にないaの範囲は(10)で、この時D/4=a^2-a =a(a-1) <0だから実数根はない。
0<a<1__(10)
以上を式番号、a、Xの個数の形にまとめると
(7) (-∞<a<-1/3) 2,(5) (a=-1/3)1,(4) (-1/3<a<0)4,
(6) (a=0)2,(10) (0<a<1)0,(9) (a=1)1,(8) (1<a<∞)2
No.1
- 回答日時:
sinX+2cosX=√5sin(X+α) cosα=1/√5、sinα=2/√5 と変形します。
わかるようにαは第1象限の角です。
あとは単位円を書いて考えます。
0≦X≦π/2より α≦X+α≦π/2+α √5sinα=2、√5sin(π/2+α)=1 なので
Xが0からπ/2動くあいだsinX+2cosX=√5sin(X+α)は2から√5をへて1まで動きます。
したがって単位円を見ればわかるように
sinX+2cosX=K、つまり√5sin(X+α)=Kが2つの解を持つのは
2≦K<√5 ということになります。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
-
これ何て呼びますか Part2
あなたのお住いの地域で、これ、何て呼びますか?
-
フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
あなたが普段思っている「これまだ誰も言ってなかったけど共感されるだろうな」というあるあるを教えてください
-
映画のエンドロール観る派?観ない派?
映画が終わった後、すぐに席を立って帰る方もちらほら見かけます。皆さんはエンドロールの最後まで観ていきますか?
-
海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
帰国して1番食べたくなるもの、食べたくなるだろうなと思うもの、皆さんはありますか?
-
天使と悪魔選手権
悪魔がこんなささやきをしていたら、天使のあなたはなんと言って止めますか?
-
sinX+2cosX=K(0≦X≦π/2)が異なる2個の解をもつとき、定数Kの値の範囲を求めよ。 よ
高校
関連するカテゴリからQ&Aを探す
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・街中で見かけて「グッときた人」の思い出
- ・「一気に最後まで読んだ」本、教えて下さい!
- ・幼稚園時代「何組」でしたか?
- ・激凹みから立ち直る方法
- ・1つだけ過去を変えられるとしたら?
- ・【あるあるbot連動企画】あるあるbotに投稿したけど採用されなかったあるある募集
- ・【あるあるbot連動企画】フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
- ・映画のエンドロール観る派?観ない派?
- ・海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
- ・誕生日にもらった意外なもの
- ・天使と悪魔選手権
- ・ちょっと先の未来クイズ第2問
- ・【大喜利】【投稿~9/7】 ロボットの住む世界で流行ってる罰ゲームとは?
- ・推しミネラルウォーターはありますか?
- ・都道府県穴埋めゲーム
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・準・究極の選択
- ・ゆるやかでぃべーと タイムマシンを破壊すべきか。
- ・歩いた自慢大会
- ・許せない心理テスト
- ・字面がカッコいい英単語
- ・これ何て呼びますか Part2
- ・人生で一番思い出に残ってる靴
- ・ゆるやかでぃべーと すべての高校生はアルバイトをするべきだ。
- ・初めて自分の家と他人の家が違う、と意識した時
- ・単二電池
- ・チョコミントアイス
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
X²+X=0 この解き方がわかりま...
-
現在中3です。y=a(x-p)+q ...
-
三角形って全部円に内接しますか?
-
正八面体ABCDEFの各面の重心を...
-
方程式の、1次式=0の意味が全く...
-
(2)の問題です。 Xの4乗+4を因...
-
数学Aの組み合わせの問題で、正...
-
z^2=i を満たす複素数zの求め方...
-
二次方程式3x²-12x+12-k²=0が正...
-
AB=2 AC=3 角BAC=120°である...
-
問題の回答で 『解が全ての実数...
-
二階微分方程式 d^2x/dt^2+2dx/...
-
二次方程式の放物線と一次方程...
-
二次関数の最小値最大値を教え...
-
aは定数とする。関数y=2x^2-4x-...
-
1から30までの整数をかけた1×2×...
-
(a+b)(b+c)(c+a)の展開の仕方を...
-
(1)質問は、なぜ、tanΘは0°<=Θ<...
-
放物線y=x^2を平行移動したもの...
-
72を素因数分解したいのですが ...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
X²+X=0 この解き方がわかりま...
-
現在中3です。y=a(x-p)+q ...
-
放物線y=x^2を平行移動したもの...
-
(a+b)(b+c)(c+a)の展開の仕方を...
-
三角形って全部円に内接しますか?
-
数学についてです。 方程式を解...
-
この答えとやり方を教えて下さ...
-
二つの直線y=x +4とy=ax−8がx...
-
(2)の問題です。 Xの4乗+4を因...
-
方程式の、1次式=0の意味が全く...
-
数学Aの組み合わせの問題で、正...
-
底辺が直角二等辺三角形の三角...
-
曲線y=X^3+X^2-1の接線で、原...
-
数学Aです 正七角形について 3...
-
数学IIについてです 極小値と最...
-
放物線y=x^2+xを平行移動したも...
-
a²+(b+c)a+bcの公式ってなんですか
-
中3受験生です。数学の質問です...
-
2つの放物線y=x^2-3x,y=2分の1...
-
nを自然数とする。 3辺の長さが...
おすすめ情報