二階微分方程式 d^2x/dt^2+2dx/dt+x＝tcostの一般解をもとめよという問題を微分演

二階微分方程式
d^2x/dt^2+2dx/dt+x＝tcostの一般解をもとめよという問題を微分演算子Dを使ってもとめる方法を教えてほしいです。
斉次形の一般解を求めるところまでは問題ないのですが非斉次の特集解を求めるところでつまずいています。
よろしくお願いいたします

質問者からの補足コメント

• 特集解→特殊解です

    補足日時：2019/07/17 22:32

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/07/18 00:52

一見して x = (A+Bt)(cos t)+(C+Dt)(sin t) という形の特殊解がありそう ←[1]

だから、これを与式へ代入してみると
2(B+C+D + Dt)(cos t) - 2(A+B-D + Bt)(sin t) = t cos t となって、
B+C+D = 0, 2D = 1, A+B-D = 0, B = 0 であれば十分だと判る。
つまり、x = (1/2)(cos t) + (-(1/2)+(1/2)t)(sin t) がひとつの特殊解である。

[1] のヤマカンは、(tのn次多項式)(cos t)+(tのn次多項式)(sin t) という形の
関数が、何回微分してもその形を保つことから思いつくのだが、
思いつかなければ、 t cos t = (1/2) te^it + (1/2) te^-it であることから
x = αe^it + βte^it + γe^-it + δte^-it という解がありそうだな と気づいてもいい。
αe^it + βte^it + γe^-it + δte^-it は、
te^it と te^-it を解に持つような定型数斉次線型微分方程式の一般解になっている。

演算子法でもやってみると、
(D^2+2D+1)x = t cos t から
x = (t cos t)/(D+1)^2 = (e^-t)∫(e^t){(e^-t)∫(e^t)(t cos t)dt}ｄｔ
= (e^-t)∫∫t(e^t)(cos t)ｄｔdt. ←[2]
部分積分を２重に使う積分を2回やればいいだけの話だが...　正直めんどくさい。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2019/07/17 23:07

因数分解したあと定義に従って地道に積分を計算するだけ.

ってか, 微分演算子を使って求めるなら「斉次形の一般解を求める」という作業も不要 (勝手に求まるので) なんだけど.