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No.1
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sinX+2cosX=K(0≦X≦π/2)が異なる2個の解をもつとき、定数Kの値の範囲を求めよ。
y= asinX+bcosXとすると、この式はy= Asin(X+δ)という形に変形できます。
ここでA=√(a^2+b^2),a=Acosδ,b=Asinδ,b/ a=tanδとなります。これを使って変形するとA=√5,2/1= tanδ,δ≒1.107≒63.4°となり,
y= sinX+2cosXは、y=√5 sin(X+1.107)となります。
すなわち、y= sinX+2cosXのグラフはy= sinXの正弦曲線をy方向に√5倍に伸ばして、-X方向にδ≒1.107だけずらしたものになります。最大値は、X=π/2-δ≒0.46の時にy=√5になります。
また、X=0のとき、sinX=0をcosX=1となり、 y=2となります。
またX=π/2≒1.57のとき、sinX=1、 cosX=0となり、y=1となります。
以上から、y= sinX+2cosXのグラフは、図のようになります。
従って、y= sinX+2cosXは、2≦K<√5の範囲で、異なる2個の解をもつ。
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