sinＸ+2cosＸ＝Ｋ(０≦Ｘ≦π/2)が異なる2個の解をもつとき、定数Ｋの値の範囲を求めよ。 よ

sinＸ+2cosＸ＝Ｋ(０≦Ｘ≦π/2)が異なる2個の解をもつとき、定数Ｋの値の範囲を求めよ。


よろしくお願いします

No.1 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/03/20 08:04

sinＸ+2cosＸ＝Ｋ(０≦Ｘ≦π/2)が異なる2個の解をもつとき、定数Ｋの値の範囲を求めよ。

y= asinＸ+bcosＸとすると、この式はy= Asin(Ｘ+δ)という形に変形できます。
ここでA=√(a^2+b^2），a＝Acosδ，b＝Asinδ，b/ a＝tanδとなります。これを使って変形するとA=√5，2/1= tanδ，δ≒1.107≒63.4°となり,
y= sinＸ+2cosＸは、y=√5 sin(Ｘ+1.107)となります。
すなわち、y= sinＸ+2cosＸのグラフはy= sinＸの正弦曲線をｙ方向に√5倍に伸ばして、－X方向にδ≒1.107だけずらしたものになります。最大値は、X=π/2－δ≒0.46の時にy=√5になります。
また、X=0のとき、sinＸ＝０をcosＸ=1となり、 y=2となります。
またX=π/2≒1.57のとき、sinＸ＝1、 cosＸ=0となり、y=1となります。
以上から、y= sinＸ+2cosＸのグラフは、図のようになります。
従って、y= sinＸ+2cosＸは、2≦K＜√5の範囲で、異なる2個の解をもつ。