No.3ベストアンサー
- 回答日時:
aは定数とする。
cos^2 (X)+2asinX-a-1=0の0≦X<2πにおける異なる実数解の個数を求めよt=sinXとすると、cos^2 (X) = 1-sin^2 (X) = 1-t^2だから、
f(t) =1-t^2+2at-a-1=-t^2+2at-a=-(t-a)^2+ a^2-a__(1)
y= f(t)のグラフの放物線の頂点の座標は(a,a^2-a)である。
①tが変化する範囲は、-1≦sinX≦1 だから
-1≦t≦1__(2)
である。
②tとXの関係(図の上のグラフ参照): f(t) =0の解tがある時、t=sinXとなるXは1個または2個である。
t=1の時は、これに対応するXの値はX=π/2の1個,また、t=-1の時はX=3π/2の1個である。
-1<t<1のときは。これに対応するXの値は2個ある。
0<t<1の時、X1=arcsin(t)とX2=π-arcsin(t) の2個である。
-1<t<0の時、X3=π-arcsin(t) とX4=2π+arcsin(t)との2個である。
③f(t) =0の解の個数(図の下のグラフ参照) (i)左のグラフ(ii)中のグラフ(iii)右のグラフの3通りに分ける。
(i)左のグラフ:放物線の頂点の座標aが、tの変化する範囲の内側にある場合は、
-1<a<1__(3)
この場合は、f(-1) <0,f(a)>0,f(1) <0であれば、f(t) =0は異なる2個の根がある。
その条件はf(-1) =-3a-1<0よりa>-1/3,f(a) =D/4=a^2-a =a(a-1) >0より,a<0またはa>1,
f(1) = a-1 <0よりa<1。この条件がすべて成り立つためには(4)の条件となる。
-1/3<a<0__(4)
このとき、f(t) =0は異なる2個の根があり、tの2個の根に対応するXは4個となる。
式(4)のaの限界値として
a=-1/3__(5)
の時は、f(t) =-t^2-2t/3+1/3=-(t+1)(t-1/3)=0よりt=-1とt=1/3となる。t=-1に対応するXは1個しかないので、t=1/3に対応する2個のXと合わせて、Xの解は3個となる。
式(4)のもう一方のaの限界値として
a=0__(6)
の時は、f(t) =-t^2=0よりt=0となる。t=0に対応するXは2個あるので、Xの解は2個となる。
(ii)中のグラフ:f(-1) =-3a-1>0,f(1) = a-1 <0であれば、f(t) =0は1個の根がある。
その条件はf(-1) =-3a-1>0よりa<-1/3,f(1) = a-1 <0より,a<1。この条件がすべて成り立つためには(7)の条件となる。
a<-1/3__(7)
この時f(0) =-a>1/3だから、f(t) =0の根は0<t<1の間に根がある。Xの解は2個である。
(iii)右のグラフ; f(-1) =-3a-1<0,f(1) = a-1> 0であれば、f(t) =0は1個の根がある。
その条件はf(-1) =-3a-1<0より,a>-1/3。f(1) = a-1> 0より,a>1。この条件がすべて成り立つためには(8)の条件となる。
a>1__(8)
この時、f(0)=-a<-1だから、f(t) =0の根は0<t<1の範囲にある。Xの解は2個である。式(8)の限界値a=1__(9)
この時f(t) =-t^2+2t-a=-(t-1)^2=0はt=1が根で、X=π/2で、Xの解の個数は1である。
④(i)(ii)(iii)にないaの範囲は(10)で、この時D/4=a^2-a =a(a-1) <0だから実数根はない。
0<a<1__(10)
以上を式番号、a、Xの個数の形にまとめると
(7) (-∞<a<-1/3) 2,(5) (a=-1/3)1,(4) (-1/3<a<0)4,
(6) (a=0)2,(10) (0<a<1)0,(9) (a=1)1,(8) (1<a<∞)2
No.1
- 回答日時:
sinX+2cosX=√5sin(X+α) cosα=1/√5、sinα=2/√5 と変形します。
わかるようにαは第1象限の角です。
あとは単位円を書いて考えます。
0≦X≦π/2より α≦X+α≦π/2+α √5sinα=2、√5sin(π/2+α)=1 なので
Xが0からπ/2動くあいだsinX+2cosX=√5sin(X+α)は2から√5をへて1まで動きます。
したがって単位円を見ればわかるように
sinX+2cosX=K、つまり√5sin(X+α)=Kが2つの解を持つのは
2≦K<√5 ということになります。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 0≦x<2πのときのsin{x+(π/3)}=1/2の値の求め方で、 0≦x<2π→π/3≦ x+( 4 2022/04/11 16:25
- 数学 【至急】数llの三角関数の合成利用の問題について y=2sinx+cosx (0≦x≦π)の最大値、 3 2023/05/28 14:25
- 数学 三角関数の範囲について ∫1/√(a²-x²)dxをx=a・sin(t)と置いて置換積分する時tの範 3 2022/05/05 04:13
- 数学 0<x<πで-3√2sinx cosx sin(x+π/4)=0を満たすxは どのようにして求めるの 2 2023/06/26 19:47
- 数学 P=sinθ-(√3)cosθ[0≦θ≦π/2]の求め方が分かりません。 画像のように解いたのですが 3 2022/04/07 18:41
- 数学 高2 数2 3 2022/06/20 21:39
- 数学 sin/x=1の証明で、範囲を0〜1/2π、0度〜-1/2πの2つの範囲でおいてから証明してますが、 4 2022/05/10 21:57
- 数学 高校生です。 この問題が解説がないため合ってるか分かりません。 この回答であってますか? 回答 g( 3 2023/01/24 14:05
- 数学 難題集から 最大と最小 7 2023/02/22 19:36
- 数学 回答者どもがなかなか答えられないようなので、考えてみました。 ∫[0,π/2]log(sinx)/( 4 2022/08/31 16:30
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
関連するカテゴリからQ&Aを探す
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
X²+X=0 この解き方がわかりま...
-
数学Aの組み合わせの問題で、正...
-
(a+b)(b+c)(c+a)の展開の仕方を...
-
現在中3です。y=a(x-p)+q ...
-
(a+b)c^3-(a^2+ab+b^2)c^2+a^...
-
原点をOとする複素数平面上で0...
-
x^3+64=0 を解けという問題がわ...
-
数学Aです 正七角形について 3...
-
直線y=x+kが円(x+3)²+y²=9によ...
-
二次関数y=x^2-2mx+m-1/2のグラ...
-
高校1年、数Ⅰ 平方関数です。 a...
-
数学についてです。 方程式を解...
-
sinX+2cosX=K(0≦X≦π/2)が...
-
次の方程式はどのような図形を...
-
へこみのない多面体を正多面体...
-
aは定数とする。cos²X+2asinX...
-
①y=−2(x−1)二乗+4 ②y=(x−2)二乗...
-
三重積分についての問題です {...
-
関数 y= x*2 -4x + 5 (1≦x≦3)の...
-
a²+(b+c)a+bcの公式ってなんですか
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
(a+b)(b+c)(c+a)の展開の仕方を...
-
X²+X=0 この解き方がわかりま...
-
現在中3です。y=a(x-p)+q ...
-
数学Aです 正七角形について 3...
-
数学Aの組み合わせの問題で、正...
-
(2)の問題です。 Xの4乗+4を因...
-
数I 2次関数の問題です aは正の...
-
ab+a -b -1の因数分解の解き方...
-
曲線y=X^3+X^2-1の接線で、原...
-
三角形って全部円に内接しますか?
-
数学IIについてです 極小値と最...
-
x^3+64=0 を解けという問題がわ...
-
y=(x^2-2x)^2+4(x^2-2x)-1 の最...
-
高一数学です。とても困ってお...
-
三角形ABCの重心と3点ABCから等...
-
この答えとやり方を教えて下さ...
-
数学についてです。 方程式を解...
-
2次方程式 x ^2+2(m-3)x+4m=0...
-
こちらの画像で3つの式を辺々足...
-
数 2の問題です!円X 2乗+y2乗...
おすすめ情報