高校数学の質問です。 二次関数の問題で、私は画像の①のように解きましたが、この方法だとy≦－6という

高校数学の質問です。
二次関数の問題で、私は画像の①のように解きましたが、この方法だとy≦－6という答えが出てきません。
この解き方では解けないのですか？間違ってるところを教えてください。
②は正答です。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/03/20 01:35

それだと X=-1 のときに z<0 となるような y も除外しちゃうね.

No.2 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/03/20 05:48

x，yの2変数関数　z=x^４－4x^２y+y^２+6y

すべての実数xについて、z≧0となるyの範囲を求めよ
解：x^２=Xとおくと、X≧0の範囲でz= f(X)=X^２－4yX+y^２+6yがf(X)≧0となるようにyをきめることになる。z= f(X)のグラフが、十分上の方にあれば、X≧0の範囲でf(X)≧0となる。グラフが下の方に下がって、グラフの一点がX軸に接触すると、その点でf(X)=0となり、そこがyの範囲の限界になる。それより、少しでも下がれば、f(X)<0の点が生じて、f(X)≧0の条件に反する。図を見ればわかるように、グラフの最小点のXが、X>０ならば、(i)の場合で、グラフの最小点がX軸に接触した時が限界である。
グラフの最小点のXが、X<０ならば、(ii)の場合で、グラフの一点が原点Oに接触した時が限界である。
グラフの最小点がX<０の部分でX軸より下がっても、X≧0の範囲でf(X)≧0の条件に反することにはならない。
あなたの作成した解答:
①　x^２=Xとおく(X≧0)
　X^２－4yX+y^２+6y≧0
　D/4=4y^２－y^２－6y=3 y^２－6y≦0
　y(y－2)≦0
②X^２－4yX+y^２+6y=(X－2y)^２－3 y^２+6y
　f(X)= (X－2y)^２－3 y^２+6y　とする。
　z≧0となるときf(X)の最小値≧0
(i)軸2y≧0のときmin= f(2y)
よって－3 y(y－2)≧0
(ii) 2y<0のときmin= f(0)
よってy(y+6)≧0
y<0だからy≦－6

No.3 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/03/20 13:29

z=X²-4yX+y²+6y(X≧0)のグラフの頂点がX<0にある場合を見落としていることが原因のようです。

グラフの頂点がX≧0にある場合,X≧0の範囲ではZのグラフの最小値は頂点になるので、z≧０となるためにの条件はD≧０
でOK

グラフの頂点がX<0にある場合,X≧0の範囲ではZのグラフの最小値をとるのはX=0のときで、min z=y²+6y　
詳しく見ると、z=(X-2y) ²-3y²+6y だから頂点(2y,-3y²+6y )がX<0にある場合
2y<0⇔y<0
与えられたｚの関数がz≧0となるためには、X=0のとき、min z=y²+6y=y(y+6)≧0であればよいから
ｙ≦-6

ということのようです。