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高校数学の質問です。
二次関数の問題で、私は画像の①のように解きましたが、この方法だとy≦-6という答えが出てきません。
この解き方では解けないのですか?間違ってるところを教えてください。
②は正答です。

「高校数学の質問です。 二次関数の問題で、」の質問画像

A 回答 (3件)

z=X²-4yX+y²+6y(X≧0)のグラフの頂点がX<0にある場合を見落としていることが原因のようです。



グラフの頂点がX≧0にある場合,X≧0の範囲ではZのグラフの最小値は頂点になるので、z≧0となるためにの条件はD≧0
でOK

グラフの頂点がX<0にある場合,X≧0の範囲ではZのグラフの最小値をとるのはX=0のときで、min z=y²+6y 
詳しく見ると、z=(X-2y) ²-3y²+6y だから頂点(2y,-3y²+6y )がX<0にある場合
2y<0⇔y<0
与えられたzの関数がz≧0となるためには、X=0のとき、min z=y²+6y=y(y+6)≧0であればよいから
y≦-6

ということのようです。
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x,yの2変数関数 z=x^4-4x^2y+y^2+6y


すべての実数xについて、z≧0となるyの範囲を求めよ
解:x^2=Xとおくと、X≧0の範囲でz= f(X)=X^2-4yX+y^2+6yがf(X)≧0となるようにyをきめることになる。z= f(X)のグラフが、十分上の方にあれば、X≧0の範囲でf(X)≧0となる。グラフが下の方に下がって、グラフの一点がX軸に接触すると、その点でf(X)=0となり、そこがyの範囲の限界になる。それより、少しでも下がれば、f(X)<0の点が生じて、f(X)≧0の条件に反する。図を見ればわかるように、グラフの最小点のXが、X>0ならば、(i)の場合で、グラフの最小点がX軸に接触した時が限界である。
グラフの最小点のXが、X<0ならば、(ii)の場合で、グラフの一点が原点Oに接触した時が限界である。
グラフの最小点がX<0の部分でX軸より下がっても、X≧0の範囲でf(X)≧0の条件に反することにはならない。
あなたの作成した解答:
① x^2=Xとおく(X≧0)
 X^2-4yX+y^2+6y≧0
 D/4=4y^2-y^2-6y=3 y^2-6y≦0
 y(y-2)≦0
②X^2-4yX+y^2+6y=(X-2y)^2-3 y^2+6y
 f(X)= (X-2y)^2-3 y^2+6y とする。
 z≧0となるときf(X)の最小値≧0
(i)軸2y≧0のときmin= f(2y)
よって-3 y(y-2)≧0
(ii) 2y<0のときmin= f(0)
よってy(y+6)≧0
y<0だからy≦-6
「高校数学の質問です。 二次関数の問題で、」の回答画像2
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それだと X=-1 のときに z<0 となるような y も除外しちゃうね.

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