フーリエ変換の問題です。 写真に問を載せました。 FとGは写真にない問で自分で求めた解です。 自分な

フーリエ変換の問題です。
写真に問を載せました。
FとGは写真にない問で自分で求めた解です。

自分なりに解いてみた結果
k = 2π
となったのですが、2問目のFとGの関係がわかりません。問題として問われるぐらいなので何か明白な関係があると思われるのですがわかりません。
回答お願いします。

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2018/04/26 13:05

フーリエ変換の一般式をF（ω）＝１/√２π∫ｆ（ｘ）exp（ーiωｘ）ｄｘとして

たたみ込み積分　ｈ（ｘ）≡∫ｆ（ｘ－ｙ）ｇ（ｙ）ｄｙ　とした時
ｈ（ｘ）のフーリエ変換は
F（ｈ（ｘ））＝H（ω）＝∫exp（ーiωｘ）∫ｆ（ｘ－ｙ）ｇ（ｙ）ｄｙ　ｄｘ
　　　　　　　＝∫exp（ーiω（ｘ－ｙ））ｆ（ｘ－ｙ）ｄｘ∫exp（ーiωｙ）ｇ（ｙ）ｄｙ
　　　　　　　＝∫exp（ーiω（ｘ－ｙ））ｆ（ｘ－ｙ）ｄ（ｘーｙ）∫exp（ーiωｙ）ｇ（ｙ）ｄｙ
　　　　　　　＝ｋF（ω）G（ω）
∫ｆ（ｘ）exp（ーiωｘ）ｄｘ＝√２πF（ω）としたので、∫exp（ーiωｙ）ｇ（ｙ）ｄｙ＝√２πG（ω）
よって、ｋ＝２π
たたみ込み積分　ｈ（ｘ）≡∫ｆ（ｘ－ｙ）ｇ（ｙ）ｄｙ　は制御工学でよく使われています。
ｙの時ｇ（ｙ）と言う信号を回路に入力し（ｘ－ｙ）後、回路にｆ（ｘ－ｙ）と言う信号を回路に入力した場合
の信号の減衰曲線の面積を求める式です。この式をフーリエ変換すると
H（ω）＝２π（ｇ（ｙ）のフーリエ変換）（ｆ（ｘ－ｙ）のフーリエ変換）＝２πF（ω）G（ω）
F（ω）とG（ω）が既知であれば、たたみ込み積分は２πF（ω）G（ω）で表されると言う意味です。
F（ω）＝1/ω√２/π(sina/2*ω) G（ω）=√２/π(1-cosaω)/ω²

たたみ込み積分のH（ω）の展開式は＝２π（1/ω√２/π(sina/2*ω)）（√２/π(1-cosaω)/ω²）となると言う意味です。
F（ω）もG（ω）もωの関数なので互いに従属変数の関係になります。