角の二等分線と、ベクトルについて。

角の二等分線の定理を、ベクトルを用いて証明してください。
教えていただけると幸いです。

質問者からの補足コメント

• 

  AB ≧AC の証明もお願いできないのでしょうか？すみません。理解不足で。教えていただけると幸いです。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/10/25 09:39

No.1 回答者： 20170130 回答日時： 2018/10/24 15:25

記号の定義

△ABC の ∠A の二等分線を考える
ベクトルの原点は点Aとする
ベクトルABをx↑、ABの長さを c と書く（c=|x↑|）
ベクトルACをy↑、ACの長さを b と書く（b=|y↑|）
∠Aの二等分線と辺BCの交点を点Pとする

証明すること
BP:PC=c:b

証明方針
i↑=(1/c)*x↑、j↑=(1/b)*y↑とすると i↑+j↑が∠Aの二等分線になる
AP↑=k*(i↑+j↑)=s*x↑+(1-s)*y↑よりk,sを決定
BP:PC=(1-s):s なのでこれがc:bであることを確認する

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/10/24 18:36

画像のようなAB<ACの三角形ABCにおいて、角Aの2等分線をADとする

AC上にAB=AEとなる点Eを取りAE//BF、AB//EFとなる点Fを図のようにとると
四角形ABFEは平行四辺形で、その4つの辺はすべて等しいので
これはひし形である。
ひし形の対角線は頂点を2等分するからADとAFは同一の直線である。

ここで、ｋ、ｔを実数として
↑AD=k(↑AF)　　　　　　　　　←←←ADはAFのk倍の長さ
↑AD=(1-t)(↑AB)+t(↑AC)　・・・①　　←←←DはBCをt:1-tに内分する
と表せるものとすると
↑AF=↑AB+↑AE
=↑AB+(AE/AC)(↑AC)であるから
↑AD=k(↑AB)+k(AE/AC)(↑AC)・・・②
ここで、↑AB,↑ACは1次独立だから、↑ADは↑ABと↑ACを用いてただ1通りに表わされるので①②の↑ABと↑ACの係数を比較して
1-t=k・・・③
t=k(AE/AC)・・・④
③を④に代入
t=(1-t)(AE/AC)
⇔t=AE/(AE+AC)
AE=ABだから
t=AB/(AB+AC)
1-t=1-AB/(AB+AC)＝AC/(AB+AC)
よって
BD：CD=t:1-t=AB/(AB+AC):AC/(AB+AC)=AB:AC
ただし↑ADなどは、ベクトルを表すものとする

AB≧ACも同様に証明できる
こんな感じでいかがでしょうか￥＾＾

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/10/25 10:34

AB=ACの場合はAB=AEとなるように点Eを取ろうとすると、必然的にAE=ACとなるので

＃２の証明の中の式
t=AE/(AE+AC)において
AE=ACを代入すると
t=AC/(AC+AC)=1/2
1-t=1/2
∴BD:CD=1:1=AB:ACとなります。
つまり、＃２の証明はAB=ACの場合も含んでいるとい事です。

（だから＃２の証明の冒頭はAB<ACではなくて、AB≦ACに訂正します。）


AB ＞ACの場合は　点EがAB上にきて　
AE=AC　AF=AE＋AC　に代わるだけの事です。（要は＃２の図の左右を反転しただけの事）あとは全く同じ要領で証明することになるので、あえて記述する人は居ません。「同様にしてAB ＞ACの場合の場合も2等分線の定理が成り立つ」としておけばよいです。

No.4 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/10/25 11:18

新しい画像は、＃２の画像のBとCを入れ替えたものです。

これでAB>ACに変わりました。
BとCを入れ替えただけなので、
「↑AD=k(↑AF)　　　　　　　　　
↑AD=(1-t)(↑AB)+t(↑AC)　・・・①　　
と表せるものとすると
↑AF=↑AB+↑AE
=↑AB+(AE/AC)(↑AC)であるから
↑AD=k(↑AB)+k(AE/AC)(↑AC)・・・②
ここで、↑AB,↑ACは1次独立だから、↑ADは↑ABと↑ACを用いてただ1通りに表わされるので①②の↑ABと↑ACの係数を比較して
1-t=k・・・③
t=k(AE/AC)・・・④
③を④に代入
t=(1-t)(AE/AC)
⇔t=AE/(AE+AC)
AE=ABだから
t=AB/(AB+AC)
1-t=1-AB/(AB+AC)＝AC/(AB+AC)
よって
BD：CD=t:1-t=AB/(AB+AC):AC/(AB+AC)=AB:AC」
という＃２の証明で、機械的にBとCを入れ替えればAB>ACのときの証明ができることになります。

すなわち
「↑AD=k(↑AF)　　　　　　　　　
↑AD=(1-t)(↑AC)+t(↑AB)　・・・①　　
と表せるものとすると
↑AF=↑AC+↑AE
=↑AC+(AE/AB)(↑AB)であるから
↑AD=k(↑AC)+k(AE/AB)(↑AB)・・・②
・
・
・
というようにBとCを入れ替えていけば良いです。
繰り返しになりますが、実際、回答欄にはAB>ACの場合も同様
としておけばよいです。