数Ⅲの問題です。 途中まででもいいので次の問題を解説していただきたいです。

数Ⅲの問題です。
途中まででもいいので次の問題を解説していただきたいです。

No.3 ベストアンサー 回答者： takoハ 回答日時： 2018/12/06 16:29

一見、難しそうですが、原理は簡単です！相似と無限級数の和だけですから！

OA=1 ,∠ BOA=θですから AB=tanθ
ここで、△OAB相似△BB1A相似 ……(1)より
θ=∠ BAB1=∠ BA1B2=……=∠ BA n B n+1 ……(2)また錯角より
=∠ A1B1A=∠ A2B2A=……=∠ A n B n A ……(3)であるから
OB・cosθ=OA=1 ∴ OB=1/cosθ……(4)から
(勿論ピタゴラスの定理も可能)
(1)より 1:1/cosθ=A1B1:tanθ
AB1=tanθ/(1/cosθ) =tanθ・cosθ ……(5)
A1B1=AB1・cosθ=tanθ・cos^2θ ……(6)
=sinθ・cosθ

2) (4)から(5)の2回操作の繰り返しだから、つまり
AB=tanθ
AB1=tanθ・cosθ

A1B1=tanθ・cos^2θ
……………………………………………
A nB n=A n-1 B n-1 ・cos^2θ よって
x n+1=x n ・cos^2θ

3) lim n→∞ Σk;1…n ( x k ) ……(7)
=x1+x1・cos^2θ+x1・cos^4θ+……
初項=x1=sinθcosθ
公比=cos^2θ
の等比級数だから
(7)は、sinθcosθ/(1ーcos^2θ)=sinθcosθ/sin^2θ=cosθ/sinθ=1/tanθ

No.4 回答者： takoハ 回答日時： 2018/12/06 17:05

一見、難しそうですが、原理は簡単です！相似と無限級数の和だけですから！

OA=1 ,∠ BOA=θですから AB=tanθ
ここで、△OAB相似△BB1A相似 ……(1)より
θ=∠ BAB1=∠ BA1B2=……=∠ BA n B n+1 ……(2)また錯角より
=∠ A1B1A=∠ A2B2A=……=∠ A n B n A ……(3)であるから
OB・cosθ=OA=1 ∴ OB=1/cosθ……(4)から
(勿論ピタゴラスの定理も可能)

(1)より 1:1/cosθ=AB1:tanθ

AB1=tanθ/(1/cosθ) =tanθ・cosθ ……(5)
A1B1=AB1・cosθ=tanθ・cos^2θ ……(6)
=sinθ・cosθ

2) (5)から(6)の2回操作の繰り返しだから、つまり
AB=tanθ
AB1=tanθ・cosθ

A1B1=tanθ・cos^2θ
……………………………………………
A nB n=A n-1 B n-1 ・cos^2θ よって
x n+1=x n ・cos^2θ

3) lim n→∞ Σk;1…n ( x k ) ……(7)
=x1+x1・cos^2θ+x1・cos^4θ+……
初項=x1=sinθcosθ
公比=cos^2θ
の等比級数だから
(7)は、sinθcosθ/(1ーcos^2θ)=sinθcosθ/sin^2θ=cosθ/sinθ=1/tanθ


(訂正!)

No.2 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/12/06 12:02

円x²+y²=a²＿＿①と

直線y=t(x+a)＿＿②
の交点を求めるには、①②を連立方程式として解く。
②のyを①に入れると
x²+y²= x²+ t² (x+a)²= a²
x²(1+t²)+2t²ax+a²(t²－1)=0＿＿③
円①と直線②は共に点(－a，0)を通るので、x=－aは③の解の一つである。
従って③は(x+a)で割りきれる。③は因数分解できて④になる。
(x+a)((1+t²)x+(1+t²)x+a(t²－1))＿＿④))＿＿④
x=－a以外の時は、④から
(1+t²)x+a(t²－1)=0＿＿⑤これを解くと
x=a(1－t²)/(1+t²)＿＿⑥となる。
これを②に入れると
y=t(x+a) =t(a(1－t²)/(1+t²)+a)=t(a(1－t²)+a(1+t²))/(1+t²)
=2at/(1+t²)＿＿⑦
⑥⑦は当然①を満足するので、x，yは媒介変数tで表されたことになる。
t=∞のとき、(x，y)=(－a,0)となるので、t=有限の時は、(－a,0)を通らない。
(2)
t=tan(θ/2)＿＿⑧　を⑥に入れると
x=a(1－t²)/(1+t²)= a(1－tan² (θ/2))/(1+ tan² (θ/2))
＿＿分母と分子にcos²(θ/2)をかけると
　= a(cos²(θ/2)－sin²(θ/2))/(cos²(θ/2)+sin² (θ/2))＿＿cos(θ/2)の2倍角の式を使うと
　= acos(2(θ/2))/1= acos2θ＿＿⑨
y=2at/(1+t²)=2a tan(θ/2)/(1+ tan² (θ/2)) ＿＿分母と分子にcos²(θ/2)をかけると
=2a sin(θ/2)cos(θ/2)/ /(cos²(θ/2)+sin² (θ/2))=a sinθ/1= a sinθ＿＿⑩
式⑨⑩が答えである。

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/12/06 00:41

とりあえず(1)だけ回答します。

∠OAB=∠AB1B=90°
∠ABO=∠ABB1=180°-(90°+Θ)=90°-Θ
であることから、一辺の両端の角度が等しいので、三角形OABと三角形AB1Bは相似になります。

また、三角形OABと三角形AB_1Bは相似であることから、
∠AOB=∠B1AB=Θ
∠B1A1A=∠OAB=90°
∠ABO=∠AB1A1=90°-Θ
と3つの角度が同じになるので、三角形OABと三角形B1A1Aも相似になります。

次に辺OBと辺ABの長さを求めます。
cosΘ=OA/OB=1/OB
OB=1/cosΘ

sinΘ=AB/OB=ABcosΘ
AB=sinΘ/cosΘ=tanΘ

AB1の長さは、三角形OABと三角形AB1Bは相似であることから
AB:OB=AB1:OA
sinΘ/cosΘ:1/cosΘ=AB1:1
AB1/cosΘ=sinΘ/cosΘ
AB1=sinΘ

A1B1の長さは、三角形OABと三角形B1A1Aも相似であることから
A1B1:OA=AB1:OB
A1B1:1=sinΘ:1/cosΘ
A1B1/cosΘ=sinΘ
A1B1=sinΘcosΘ

xn=AnBnなので、求めるx1は、
x1=A1B1=sinΘcosΘ

ちなみに、三角形OAB内の三角形は、全て三角形OABと相似になります。