高校の数学1 2次方程式 ルートの中の文字

高校の小テストで、以下のような問題が出たのですが、判別式をやったあと どうすればいいのかわかりません。
ルートの中に mがずっといるのですが、どうやって いなくならせますか？

2次方程式 x^2－3mx＋18√m＝0 がm＞0で実数解を持つとき mの範囲を求めよ。

そもそも 私の解き方ってあってますか？
私がやったのは、
判別式を使って、
9m^2－72√m ≧0
9( m^2－8√m) ≧0
にしました。
でも ルートの中に mがずっといます。

よろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： xpopo 回答日時： 2018/12/13 15:51

9m^2－72√m ≧0　　

9( m^2－8√m) ≧0　　　（１）

m>0より式（１）は


　m^2≧8√m


両辺を2乗して

　m^4≧64m

両辺をmで割って

　m^3≧64

を得る。よってmは

　　m≧4

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2018/12/17 16:16

No.7 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2018/12/14 21:13

x²-3mx+18√m=0 , m>0

1/4 {4x²-12mx+72√m}=0
1/4 {(2x-3m)²-9m²+72√m}=0
1/4 {(2x-3m)²-9(m²-8√m)}=0
0≦(2x-3m)²=9(m²-8√m)
m²-8√m≧0
√m (√m ³-8)≧0
√m (√m -2)(√m ²+2√m+4)≧0
(m-4)√m {(√m +1)²+3}/(√m+2)≧0
√m {√m +1)²+3}/(√m+2)>0 なので m-4≧0
m≧4

といった具合に定石通り平方完成すれば答えに辿り着けます。高校レベルの数学には判別式は必要ありません。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2018/12/17 16:20

No.6 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/12/14 12:21

グラフで考えるなら以下

y=x^2－3mx＋18√m=(x-3m/2)²-9m²/4+18√mというグラフを考える
m>0のとき、グラフの軸>0であるがこれは実数解の有無にはあまり影響しない
グラフの頂点≦０であればグラフはx軸と交点を持ち、x^2－3mx＋18√m＝0 が実数解を持つから
-9m²/4+18√m≦０
これは質問者さんの
9( m^2－8√m) ≧0
と同等
以下
( m^2－8√m) ≧0
⇔m²≧8√m
プラス同士を比較している不等式では、両辺2乗しても不等号の向きは変わらないから
m⁴≧64m
⇔m⁴-64m≧0
⇔m(m³-64)≧0
m>0だから両辺mで割っても不等号の向きは変わらず
(m³-64)≧0
⇔(m-4)(m²+4m+16)≧０・・・①　参考：公式(a³-b³)=(a-b)(a²+ab+b²)
(m²+4m+16)=(m+2)²+12＞０　（∵(m+2)²≧０）
だから①の不等式は(m-4)x(プラスの数)≧０ということ
従ってm-4≧０
∴m≧4

この回答へのお礼

グラフでも考えられるんですね。
初めて知りました。

ありがとうございます

お礼日時：2018/12/17 16:19

No.5 回答者： ワヲン 回答日時： 2018/12/13 17:17

補足

m^2+4m+16=(m+2)^2-4+16=(m+2)^2+12>0で、
m^2+4m+16=0に実数解が無いことも述べております。
（実際、D=16-64=-48<0）

No.4 回答者： ワヲン 回答日時： 2018/12/13 17:13

m^3≧64 ⇒ m ≧4

答えは合っているけど、唐突すぎるのでは？
m^3-64=(m-4)(m^2+4m+16)≧0
ここで、
m^2+4m+16=(m+2)^2-4+16=(m+2)^2+12>0であることより、
m-4≧0
∴m≧4
とした方が望ましいです。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2018/12/17 16:18

No.3 回答者： ユーヒ 回答日時： 2018/12/13 16:12

結論から申しますと、やり方は合ってます。

まず、おさらい。

判別式 D=b^2-4ac のとき、
D>0のとき二つの実数解
D=0のとき重解
D<0のとき二つの虚数解
を持ちます。

問題文より、
m>0のとき実数解を持つので、
D≧0として考えられます。

したがって、
判別式Dは
9(m^2-8√m)≧0
になります。
このとき、D≧0となるときのmの範囲
(m>0)を考えればいいわけです。

ここからは不等式を解いていく手順になります。

D⇒ 9(m^2-8√m)≧0

両辺を9で割る

⇒ m^2-8√m≧0

このときD=0になるときのmを求めてみる。

m^2-8√m=0

-8√mを右辺へ

m^2=8√m

両辺二乗

(m^2)^2=(8√m)^2
m^4=64m
m^3=64
m=4

確かめにm=4を代入すると、

4^2-8√4=0
16-8×2=0
0=0

よって、D=0のときm=4

次にD>0となるときのmを求めてみる。

D=0のときのmを求める手法より

m^3>64
m>4

これらを合わせて考えると、
D=0のとき、m=4
D>0のとき、m>4

すなわち、D≧0のときm≧4 となることがわかります。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2018/12/17 16:17

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2018/12/13 16:00

判別式が

　9m^2－72√m ≧0
　9( m^2－8√m) ≧0
→　m^2－8√m ≧0
→　m^2 ≧ 8√m
両辺とも正ですから、２乗しても不等号の向きは変わらず
　　m^4 ≧ 64m
→　m(m^3 - 64) ≧ 0　　　①

m>0 と与えられていますから、①が成立するためには
　　m^3 - 64 ≧ 0
よって
　　m^3 ≧ 64
→　m ≧ 4

ルートは2乗すれば外せます。そのときには、正負の条件に気を付けないといけません。（負を2乗すると正になるので、大小関係が変わる場合がある）

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2018/12/17 16:17