数列1/1, 3/2, 2/2, 1/2, 5/3, 4/3, 3/3, 2/3, 1/3, ・・・

数列1/1, 3/2, 2/2, 1/2, 5/3, 4/3, 3/3, 2/3, 1/3, ・・・・, 9/5, 8/5, ・・・1/5, ・・・
分母がnと書かれた分数は(2n-1)個ある。
(4)初項から第160項までの和は？
という問題です。
第160項は10/13です。
解説がよくわからないので、教えてほしいです！

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/12/27 12:00

＃２を簡単にすると以下です

1/1+3/2+・・・+1/12+25/13+24/13+23/13・・・+10/13
=(1/1)+(3/2+2/2+1/2)+(5/3+4/3+3/3+2/3+1/3)+・・・+(23/12+・・・+1/12)+(25/13+24/13+23/13・・・+10/13)
=1+3+5+・・・+23+(25/13+24/13+23/13・・・+10/13)　←←←分母が同じもの同士を足し算した結果
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1/1)=1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3/2+2/2+1/2)=3
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(5/3+4/3+3/3+2/3+1/3)=5
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(23/12+・・・+1/12)=23
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　より分母が１から１２までの分数の和は、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1+3+5＋・・・+23　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
=(1/2)x12x(1+23)+(25/13+24/13+23/13・・・+10/13)　←←←１から２３までの和は等差数列の和の公式

=(1/2)x12x(1+23)+(1/13)x(25+24+23・・・+10) 　←←←後半の()から1/13をくくりだした

=(1/2)x12x(1+23)+(1/13)x{(1/2)x16x(25+10)}　←←←25+24+23・・・+10は等差数列の和の公式で計算。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　項数が16

No.3 回答者： tekcycle 回答日時： 2018/12/26 23:38

それと、念のために言っておくと、数列の和を求めるのに、Σを「使わなければならない」というルールはありませんよ。

160全部書き出して、頭から計算したって×は付けられません。
だから、Σを使える所だけ使って、使えない所は書き出して足し算して、それを加えたってバチは当たらない。

例えば、入試なんかで、解ける物は解いた、解けない物はもう無理っぽい、なんて時に、これが解けないんだったら、160全部書き出して、頭から足し算したって良い。
勿論、「阿呆」と減点されることだってあるかもしれない、あったって良いけれど、それで答えが出たなら、いくらか点は来そうです。
この問題でも、数列や確率にありがちですが、判らないままいい加減に解法を丸暗記しただけの奴よりも、書き出してみるとか、数列の和ってそもそも何だっけとか、原点回帰して、そこからちゃんとできる奴が求められているような気がするんです。
わかりませ～～ん、と投げ出す奴が最も悪い。
12群＋αくらいなら、時間だけあれば足し算できるでしょ。
3～4群計算してみて、それで法則が見つかればそれはそれで模範解答に近付きそうですし。
まず解法ありき、というのは違いますからね。
当てはまる解法を探すよりも(ぴったりなのを「たまたま知っていれば」良いけれど)、色々動いて法則を掴む方が大事。
書き出したり色々処理をしていく中で、法則が見つかるんで。(1)～(3)でなにやってんのか知りませんけど。
数列や確率が苦手って人は、たぶんこの辺りを勘違いしているというのがパターンのうちの一つでしょう。
2番さんだって、Σなんてちょっとしか使ってないでしょ？しかもほぼ不要ですよね。
頭の動かし方は、たぶんあんな感じですよ。最初にΣを持ってきてどうのこうのでは、たぶん無い。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/12/26 13:30

数列1/1, 3/2, 2/2, 1/2, 5/3, 4/3, 3/3, 2/3, 1/3, ・・・・, 9/5, 8/5, ・・・1/5, ・・・を分母ごとに分別する

→数列1/1｜3/2, 2/2, 1/2,｜ 5/3, 4/3, 3/3, 2/3, 1/3,｜ ・・・・
そしてこの区切りの1つ目を1群　２つめ｜3/2, 2/2, 1/2,｜を2群・・・と呼ぶことにする
すると、各群に含まれる分数の個数は、1群から順に１こ３こ５こ・・・2n-1ことなる

また、各群の中央に位置する分数はn/nで　
|・・・(n+1)/n,n/n,(n-1)/n・・・|であるから
その平均はn/n=1
→n群の中の分数の和＝(2n-1)x1=2n-1・・・①
具体例　3群は｜ 5/3, 4/3, 3/3, 2/3, 1/3,｜
端から順に、5/3と1/3をペア、4/3と2/3をペアにすると各ペアの平均は１、
5個の分数の平均が１だから５この分数の和は５になる（どの群でも同じ要領で群の和が求まるから①が得られる）

これを踏まえて、160項は何群に含まれる分数なのか調べる
→160項は10/13と分かったなら分母から160項は13群（∵分母○と群の○番目は一致）

1/1+3/2+・・・+1/12+25/13+24/13+23/13・・・+10/13を計算すれば答えとなるが
分母が12以下の分数の和は、①を利用すると楽というのが画像D
つまり求めるべき和を
(1/1+3/2+・・・+1/12)+(25/13+24/13+23/13・・・+10/13)
というよに分割して
(1/1+3/2+・・・+1/12)の計算は①を利用しようということ
(1/1+3/2+・・・+1/12)=1群の和+2群の和+3群の和+・・・+12群の和
=1+3+5+・・・+23
(=Σ[K=1～12](2k-1))
=(1/2)x(項数)x(初項+末項)　　←←←等差数列（初項１、末項２３、項数12)に和の公式を当てはめる
=(1/2)x(12)x(1+23)
=画像

これに残りに分数の和(25/13+24/13+23/13・・・+10/13)
を足せば答えです

ちなみに
(25/13+24/13+23/13・・・+10/13)
=(1/13)(25+24+23+・・・+10)というくくりだしができますから
(25+24+23+・・・+10)が初項25,末項10、項数25-10+1=16の等差数列の和であると見なして
公式を適用しているのが画像下から2行目の式です。

No.1 回答者： tekcycle 回答日時： 2018/12/25 21:15

よくわかりません、じゃなくて、何がどこまで解ってどこから判らないのかを書くこと。

丸投げ質問は可能な限り避けること。
「群」の定義は？
それに対して、第1群、第2群、第3群、と、それぞれ和を計算してみたのですか？
一般項や「群の和の」一般項はどうなってるの？
公式があって解法があって、これを当てはめれば解けますよ、じゃたぶんありません。
自分で書きだしてみろ、それを見て、自分で法則を見つけろ、それを数式化しろ、という問題です。

> 第160項は10/13です。

それはどうして判ったのか。
まぁ分母が13ですから、13群目になるんでしょう。
となれば、12群までは「群の和の一般項」を足していけば良いのでしょう。
13群目だけ、第160項の10/13までを、別途計算し、12群までの和に加えてやれば良い。
どういうところが解らないの？