x＝cosθ±√(cos^2θ-1) θが0<θ<2πのとき、この解を範囲で求めなさい。 この問題の

x＝cosθ±√(cos^2θ-1)
θが0<θ<2πのとき、この解を範囲で求めなさい。

この問題の解き方を教えていただきたいです、、

No.7 回答者： majimelon37 回答日時： 2019/01/12 06:46

回答がたくさん出たが、No.１~4はナンセンス。

No.５は2点を除去したのが間違い。
No.6の答えは正しい。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/11 03:53

すみません。

No.1に間違いがありました。
絶対値1、偏角±θの複素数(0<θ<2π)ですから、
原点中心、半径1の円周上で一点1を除いた弧になります。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/01/11 03:38

0<θ<2πの範囲だと、θ=-π以外では

√(cos^2θ-1)は虚数です。

問題文の日本語がわかりにくい質問ですが、
0<θ<2πのとき、x=cosθ±√(cos^2θ-1)の
xが複素数平面上で動く範囲を求めなさい
という問題だと解釈してみます。
その際、式中の±は、x=cosθ+√(cos^2θ-1)
または x=cosθ-√(cos^2θ-1) で定まるxが
動く範囲全体を意味するものと受け止めます。

すると、虚数単位をiとして
x=cosθ±√(cos^2θ-1)
=cosθ±√(-1)(1-cos^2θ)
=cosθ±(±i)(±sinθ)
=cosθ±i sinθ と書けます。
最後の行の±は、最初の式の±とは一致しませんが、
xの定義は同じになります。

x=cos(±θ)+i sin(±θ) (複合同順)と書くと
更に見やすいかもしれません。
xは、絶対値1、偏角±θの複素数ですから、
0<θ<2πの範囲では、複素数平面上、
原点中心、半径1の円周上で
実軸との２交点を除く弧の範囲をを動きます。

No.4 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/01/10 22:59

ANo.3です。

すみません、途中を間違えていましたので全面的に書き直します。

x＝cosθ±√((cosθ)^2-1)
x＝cosθ±√(sinθ)^2
x=cosθ±sinθ
x=√2((1/√2)cosθ±(1/√2)sinθ)
x=√2(cosθcos(±π/4)+sinθsin(±π/4))
x=√2cos(θ±π/4)

π/4-θ=0またはπ/4+θ=2πのとき最大値√2
θ=π/4, 7π/4

θ±π/4=πのとき最小値-√2
θ=3π/4, 5π/4

よって -√2≦x≦√2（=が入ります）

No.3 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/01/10 22:48

紛らわしいので、cos^2θ=(cosθ)^2, sin^2θ=(sinθ)^2とします。

x＝cosθ±√((cosθ)^2-1)
x＝cosθ±√(sinθ)^2
x=cosθ±sinθ
x=√2((1/√2)cosθ±(1/√2)sinθ)
x=√2(sin(π/4)cosθ±cos(π/4)sinθ)
x=√2sin(θ±π/4)
θ±π/4=π/2のとき最大値√2
このときのθは、θ=π/4, 3π/4となり0<θ<2πを満たす。

θ±π/4=3π/2のとき最小値-√2
このときのθは、θ=5π/4, 7π/4となり0<θ<2πを満たす。

よって -√2≦x≦√2（=が入ります）

No.2 回答者： イトコン 回答日時： 2019/01/10 18:14

cos^2x-1は公式(sin^2x+cos^2x=1)よりsin^2xと表せます。

なので
x＝cosθ±√(cos^2θ-1)
x＝cosθ±√(sin^2θ)
x=cosθ ±sinθ
となります。
最大値と最小値を求めるには極値を求める必要があります。微分した時の解が0になれば極値だと言えるので
x=cosθ ±sinθ
x’=sinθ ±cosθ
0= sinθ ±cosθ
θ=π/4,(3/4)π,(5/4)π,(7/4)π
になります。それぞれをx=cosθ ±sinθに代入するすると、
θ=π/4のとき
θ=0,√2
θ= (3/4)πのとき
θ=0,-√2
θ=(5/4)πのとき
θ= 0,-√2
θ= (7/4)πのとき
θ=0,√2
よって最大値は√2、最小値は-√2だという事が言える。
なので解の範囲は-√2<x<√2

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/01/10 15:28

√の中は≧0だから

cos²θ-1≧0
∴cos²θ≧1

一方、-1≦cosθ≦1だからcos²θ≦1

cos²θ≧1かつcos²θ≦1だからcos²θ=1しかない

∴cosθ＝1,-1 ∴θ=0,2π


「θが0<θ<2πのとき」と言う条件に合うθは存在しない。

「0≦θ≦2πのとき」じゃ、無いのかい？