線型漸化式を 作成し

a[n]=21 (-1)^n 2^(n-4) n^3-189 (-1)^n 2^(n-4) n^2+63 (-1)^n 2^(n-1) n-3 (-1)^n 2^(n+3)
を　解にもつ　線型漸化式を　作成し
a[n] は　3で割り切れる　ことを　証明願います。

また　数学的帰納法で証明をも;

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/02 23:16

ｋの質問、流行っているのかな。

a[n] = 21 (-1)^n 2^(n-4) n^3-189 (-1)^n 2^(n-4) n^2+63 (-1)^n 2^(n-1) n-3 (-1)^n 2^(n+3)
= {(-1)^n}(2^n)(2^-4){ 21n^3 - 189n^2 + 63(2^3)n - 3(2^7) }
= {(-2)^(n-4)}{ 21n^3 - 189n^2 + 504n - 384 }.

b[n] = a[n+1] - (-2) a[n] と置くと、
b[n] = {(-2)^(n-3)}・21(3n^2 - 15n + 16).

c[n] = b[n+1] - (-2) b[n] と置くと、
c[n] = {(-2)^(n-2)}・21・6 (n - 2).

d[n] = c[n+1] - (-2) c[n] と置くと、
d[n] = {(-2)^(n-1)}・21・6・1.

e[n] = d[n+1] - (-2) d[n] と置くと、
e[n] = 0.

定義した逆の順番で数列を消去してゆくと、
0 = e[n]
= d[n+1] + 2 d[n]
= (c[n+2] + 2 c[n+1]) + 2(c[n+1] + 2 c[n])
= c[n+2] + 4 c[n+1] + 4 c[n]
= (b[n+3] + 2 b[n+2]) + 4(b[n+2] + 2 b[n+1]) + 4(b[n+1] + 2 b[n])
= b[n+3] + 6 b[n+2] + 12 b[n+1] + 8 b[n]
= (a[n+4] + 2 a[n+3]) + 6(a[n+3] + 2 a[n+2]) + 12(a[n+2] + 2 a[n+1]) + 8(a[n+1] + 2 a[n])
= a[n+4] + 8 a[n+3] + 24 a[n+2] + 32 a[n+1] + 16 a[n].


a[1] = 6 は 3 で割りきれている。
a[n+1] = - 2 a[n] + b[n] が成り立つが、
b[n] は 21 で割り切れるので、
a[n] が 3 で割り切れれば a[n+1] も 3 で割り切れる。
よって、数学的帰納法により；