cos-√3sinθ＝-1 合成の公式を使ってとく問題です。 お願いします。

cos-√3sinθ＝-1
合成の公式を使ってとく問題です。
お願いします。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/11 16:45

三角関数の合成ってのは、加法定理を使って

Acosθ + Bsinθ という式を
Rsin(θ+α) または Rcos(θ+α) の形に変えることです。
どちらにもできます。

合成後の式を展開してみるとわかるのですが、
Rsinα = A, Rcosα = B とすれば Rsin(θ+α) が、
Rcosα = A, Rsinα = -B とすれば Rcos(θ+α) が現れます。
今回は、cosへ合成するほうを使ってみましょうか。
いづれにしろ、A, B から R, α を求める必要があります。

まず最初に求まるのは、R です。
R^2 = (Rcosα)^2 + (Rsinα)^2 = A^2 + (-B)^2 から計算できます。
やってみましょう。この例題では、
R^2 = 1^2 + (√3)^2 = 4 より R = ±2 です。
どちらの R を使っても解くことができるので、R = 2 にしておきましょう。

R が判ったら、次に
cosα = A/R, sinα = -B/R となる α を探します。
この α は、問題によっては具体的な値が求まるとは限らないのですが、
この例題では、よく知ってる角度になるようです。
cosα = A/R= 1/2, sinα = -B/R = (√3)/2 となるのは、
α = π/3 + 2nπ　(= 60° + 360n°) (n は整数) の場合です。
α も、ひとつ見つければ十分なので、α = π/3　(= 60°) としましょう。
この式の π は、習ったことがなければ、気にしないで
そういう定数だとでも思っておいてください。

こうして
cosθ - (√3)sinθ = Rcos(θ+α) = 2cos(θ+π/3) が判り、
2cos(θ+π/3) = -1 を解くことになります。
cos(θ+π/3) = -1/2 となる角 θ+π/3 を見つけましょう。
単位円の絵を書いて、x座標が -1/2 になる点を探すと、
θ+π/3 = ±(2/3)π + 2nπ (n は整数) だとわかります。
この、絵を書いて角を探す作業は、何度もやって慣れるしかないですね。

答えは、θ = -π/3 ±(2/3)π + 2nπ (n は整数) です。
± を整理すれば θ = π/3 + 2nπ または -π + 2nπ
(= 60° + 360n° または 180° + 360°) (ｎ は整数) となります。
問題で θ の範囲が限定されていることが多いので、その場合は
それに当てはまる n の値を選んで、何個かの値だけ答えます。

さて、考え方は以上のようなのですが、慣れてる人は
作業を頭の中で進めて、
cosθ - (√3)sinθ= -1
(1/2)cosθ - ((√3)/2)sinθ= -1/2
cos(θ + π/3) = cos((2/3)π)
θ + π/3 = ±(2/3)π + 2nπ
θ = -π/3 ±(2/3)π + 2nπ
とか書いてしまうのです。慣れてしまうと、下のやり方のほうが
簡潔なぶん何をやっているのか見やすく感じるものです。

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/02/11 15:16

cosの係数１とsinの係数√3を三平方の定理にかけて

１²+√3²=4
よって左辺は√4=2をくくり出せば合成できると分かります
今回はこの括り出しが分からない人の為にあえて両辺２倍しておきます
cos-√3sinθ＝-1⇔2cos-2√3sinθ=-2
⇔2(cosθ-√3sinθ)=-2
両辺1/2倍
2(cosθ-√3sinθ)x(1/2)=-2x1/2
⇔2{(1/2)cosθ-(√3/2)sinθ}=-1
無論2の括り出しが分かる人はいきなり2{(1/2)cosθ-(√3/2)sinθ}=-1として構いません
で(1/2)cosθ-(√3/2)sinθと加法定理sin(αｰβ)=sinαcosβ-cosαsinβの右辺とを比べます
するとsinα=1/2,cosα√3/2、β=θですのでα=30であることが分かります
∴(1/2)cosθ-(√3/2)sinθ=sinαcosβ-cosαsinβ=sin(α-β)=sin(30-θ)
∴2{(1/2)cosθ-(√3/2)sinθ}=2sin(30-θ)=-1
よってsin(30-θ)=-1/2
あとはθの範囲に注意して30-θが求まります
30-θ=210°がその1例です。（これ以上先は問題文によって正答が異なってきますのでご自分で）