No.1ベストアンサー
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(1)
0≦x≦1として、
Rn(x)の中かっこの部分は、初項1、公比-xの等比数列の第n+1項までの和
だからその和の公式を入れて絶対値をとると
|Rn(x)|=x^(n+1)/(1+x)になる。
0≦x≦1では1/(1+x)≦1だから|Rn(x)|≦x^(n+1)
したがってそこの2番目のヒントより0から1の積分は
∫|Rn(x)|dx≦∫x^(n+1)dx=1/(n+2)
そして1番目のヒントから
|∫Rn(x)dx|≦∫|Rn(x)|dxだから結局
0≦|∫Rn(x)dx|≦1/(n+2)でこの右辺はn→∞のとき0に収束だから
はさみうちの原理で
|∫Rn(x)dx|→0、n→∞
ゆえに
∫Rn(x)dx→0、n→∞
∫Rn(x²)dx→0 もまったく同じようにして証明できる。
(2)(ⅰ)
ヒントにあるようにもとのRn(x)の式の中かっこの部分を
0から1まで積分したものは(ⅰ)の無限級数の部分和Snになっているから
もとのRn(x)の式を0から1まで積分すると
∫Rn(x)dx=∫dx/(1+x)-Sn
ゆえに
Sn=∫dx/(1+x)-∫Rn(x)dx
ゆえにn→∞のとき(1)より∫Rn(x)dx→0だから
Sn→∫dx/(1+x)=log2
同じようにして(ⅱ)の無限級数の和=∫dx/(1+x²)=π/4
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