数3の積分の問題です。お願いします！

数3の積分の問題です。お願いします！

No.1 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2019/02/18 17:55

(1)

0≦x≦1として、
Rn(x)の中かっこの部分は、初項1、公比－xの等比数列の第ｎ＋1項までの和
だからその和の公式を入れて絶対値をとると
|Rn(x)|＝x^(n＋1)/(1＋x)になる。
0≦x≦1では1/(1＋x)≦1だから|Rn(x)|≦x^(n＋1)
したがってそこの2番目のヒントより0から1の積分は
∫|Rn(x)|ｄx≦∫x^(n＋1)dx＝1/(n＋2)
そして1番目のヒントから
|∫Rn(x)ｄx|≦∫|Rn(x)|ｄxだから結局
0≦|∫Rn(x)ｄx|≦1/(n＋2)でこの右辺はｎ→∞のとき0に収束だから
はさみうちの原理で
|∫Rn(x)ｄx|→0、ｎ→∞
ゆえに
∫Rn(x)ｄx→0、ｎ→∞
∫Rn(x²)ｄx→0　もまったく同じようにして証明できる。

(2)(ⅰ)
ヒントにあるようにもとのRn(x)の式の中かっこの部分を
0から1まで積分したものは(ⅰ)の無限級数の部分和Snになっているから
もとのRn(x)の式を0から1まで積分すると
∫Rn(x)ｄx＝∫ｄx/(1＋x)－Sn
ゆえに
Sn＝∫ｄx/(1＋x)－∫Rn(x)ｄx
ゆえにｎ→∞のとき（1）より∫Rn(x)ｄx→0だから
Sn→∫ｄx/(1＋x)＝log2
同じようにして（ⅱ）の無限級数の和＝∫ｄx/(1＋x²)＝π/4