空間ベクトルの問題です。 4点O(0,0,0),A(4,0,2),B(3,3,3),C(3,0,4)

空間ベクトルの問題です。
4点O(0,0,0),A(4,0,2),B(3,3,3),C(3,0,4)について、四面体OABCの体積を求めよと言う問題を教えてください。
回答に1/3*三角形OAC*高さとあったのですが、高さの求め方がわかりません。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/02/27 13:45

おそらく高校生の質問ですね？

すると外積などは知らないでしょうから模範解答どおりにやるしかないです

三角形ABCの作る面にOからおろした垂線の足Hを取ります（Hの位置は△ABCの内部になるか外部になるか調べないと分かりませんが、高さOHを知りたいだけならどちらでも良い事なので気にしないことにします）
→OHの成分を(s,t,u)と置いて
→OHと→ABの内積=0
→OHと→BCの内積=0
→OHと→CAの内積=0
(OHはAB、BC、CAと垂直だから内積＝０）
をそれぞれ成分で表します
すると連立方程式から→OH＝(s,t,u)が求まるので
|→OH|＝√(s²+t²+u²)を求めればこれが高さという事になります

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2019/02/26 21:36

ANo1さんの計算は、行ベクトルOA、OB、OCを縦に並べて作った

3×3の行列の行列式÷6と同じ。

0が2ケ所に有るから、余因子展開で行列式は30と直ぐ求まる。
なので体積は5。

別解として、質問の回答の方法は、△OACはxz平面上にあるから、
Bの高さはy方向に3
ΔOACの面積は、図を描けば5と簡単に求まるので、
体積=5×3÷3=5

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/02/26 19:20

四面体OABC = (1/6)| (ベクトルOA × ベクトルOB) ・ ベクトルOC | です。

四面体OABC = (1/3)| (1/2)(ベクトルOA × ベクトルOC) ・ ベクトルOB | でも同じです。
右辺の × は外積、・ は内積を表しています。
(ベクトルOA × ベクトルOC) は、面OAC に垂直で、
長さが OA,OB を二辺に持つ平行四辺形の面積になっているようなベクトルです。
(1/2)(ベクトルOA × ベクトルOC) なら、長さは △OAC の面積になります。
これと ベクトルOB の内積をとると、OB の面OAC に垂直な成分、つまり点B の高さを
掛けたことになります。

外積が不慣れなら、面OAC の単位法線ベクトル n を求めて
高さ = | ベクトルn ・ ベクトルOB | とすればよいです。