z=r(cosθ+isinθ) (r＞0)とおくとド・モアブルの定理より z^8=r^8(cos8

Question

z=r(cosθ+isinθ) (r＞0)とおくと
ド・モアブルの定理より
z^8=r^8(cos8θ+isin8θ)とできるそうなのですが、どうやって、r(cosθ+isinθ)を図形のでの幾何学的に表すとどのように表せますか？
また、r(cosθ+isinθ)を8乗するとr^8(cos8θ+isin8θ)と導ける理由を図形を用いた幾何学的に説明していただけないでしょうか？

tknakamuri · Accepted Answer

>凄いです。幾何学的に導ける方がいらっしゃるとは
これは幾何学的に導いたのではなくて、
幾何学的に描いてみたということ。

主役は角度の加法定理です。

tknakamuri · Answer

ド・モアブルは
複素数の掛け算の性質
r1(cosθ1+i・sinθ1) ・ r2(cosθ2+i・sinθ2)=r1r2{cos(θ1+θ2)+i・sin(θ1+θ2)}
から簡単に導けます。

これは複素数の掛け算は回転の和であるということ。
8乗すれば角度が8倍になるのは当然ということになります。

この掛け算の性質は交流回路の位相の計算等にメチャクチャ便利。
複素数が工学で多用される所以です。

この掛け算の性質は、角度の加法定理からとても容易に求まります。

majimelon37 · Answer

訂正：No.９の下式は、文字化けがありました。
誤
ｉ²=cos(180°)=－Ｉ，ｉ³=ｉsin(270°)，ｉ⁴=cos(360°)=Ｉ
正
ｉ²=cos(180°)=－1，ｉ³=ｉsin(270°)，ｉ⁴=cos(360°)=1

majimelon37 · Answer

すいません。今回のようなドアモブルr cosθとri sinθを足したものを自乗する物は何を知るためにr cosθとri sinθを足して自乗するのでしょうか？>

複素数の掛け算の結果を正しく、素早く知るためです。例を使って説明します。整数の計算式で２×３＝６という式があった時、２×３から何を知るのでしょうか。２と３という二つの数から、一つの数６を知るのです。「６は縦２、横３の長方形の面積だ」というような余計な意味は考えなくてよい。
２と３という二つの数から、ただ一つの数６を求めるのが、掛け算です。
数直線上の二点２と３から、一つの点６を知るのです。
複素数ｚの掛け算でｚ＝2+3ｉ＿＿①　の二乗を計算すると、
計算途中でｉ²=－1＿＿②　を使って、次になる。
(2+3ｉ)²＝(2+3ｉ)×(2+3ｉ)=2²+6ｉ+６ｉ+3²ｉ²=4+6ｉ+６ｉ－9=－5+12ｉ
これをz²＝－5+12ｉ＿＿③
式①の複素数ｚはｚ＝2+3ｉで、ガウス平面上の一点だから、横座標２と縦座標３がある。二つの実数、２と３を使って表すが、式①のzはこれで一つの数です。
式③のz²＝－5+12ｉも
横座標の－5と縦座標12を使って表すが、これで一つの数です。
複素平面上の点z＝2+3ｉから、一点z²＝－5+12ｉを知るのです。
「二つの数を使ったけれど一つの数だ」という言い方は論理的にはあいまいなので、正確には
「二つの実数を使って表したけれど一つの複素数だ」となります。(x座標とy座標の二つの実数を使っているが、複素数は一つの数だ、平面上の一つの点だ、という考え方が重要です。
式③のz²＝－5+12ｉも横座標の－5と縦座標12を使って表すが、これで一つの数です。
二つの実数、２と３を使って表すが、式①のzは、これで一つの数です。式③のz²＝－5+12ｉも
横座標の－5と縦座標12を使って表すが、これで一つの数です。

r cosθとri sinθを足して自乗するのでしょうか？>

r cosθとri sinθの二つの数をたすと考えるのは当然で、それは、それで正しいのですが、
r cosθとri sinθの二つの数をたすと考えるのではなくz= r cosθ+ｉr sinθという一つの複素数を二乗すると、z²= r²cos2θ+ｉr²sin2θという一つの複素数になる、と考えることが、より進化した考え方で。複素数の正しい考え方です。
公式ｉ²=－1＿＿②　にならってｉⁿをド・モアブルの定理使って書くと
ｉⁿ=(cos(n×90°)＋ｉsin(n×90°))
ｉ¹=ｉ=ｉsin(90°)，ｉ²=cos(180°)=－Ｉ，ｉ³=ｉsin(270°)，ｉ⁴=cos(360°)=Ｉ
など実際に掛け算を実行して、掛け算の結果を出してみて下さい。
参考；ウィキペディアをみると、関連事項がたくさん書いてある。
https://ja.wikipedia.org/wiki/ド・モアブルの定理
ド・モアブルの定理に関係の深いオイラーの公式とか。(オイラーの公式の方が、基本的理解につながる。)
ド・モアブルという人は、ド・モアブルの定理に関与してないとか。

majimelon37 · Answer

番号を付けずに(r(cosθ+isinθ))^8を展開する方法はあるのでしょうか？>

番号を付けずに(r(cosθ+isinθ))^8を計算すれば
(r(cosθ+isinθ))^8=r⁸(cos8θ+isin８θ)となる。
番号というものの最も重要な意味は、ものを区別する道具だということです。
この使い方では、a₁とa₂は別のものだ。a₃はa₁ともa₂とも違うものだ、ということです。それ以外に意味はありません。高校のクラスで、クラス名簿に番号をつけるようなものです。このとき必要な条件は、一人には一つしか番号をつけないことと、別の人に同じ番号をつけないことです。氏名は木下藤吉郎と羽柴秀吉のように一人に二つ名前があったり、同姓同名があったりすると、区別に支障があります。名簿の番号を成績順にすると、番号を付けるために試験が必要になって不便なので、番号は何の意味もないことが重要です。(ただし、番号をつけた順序という使い方はある。)
θ₁、θ₂、θ₃の場合は、計算すれば、θ₁=θ、θ₂=2θ、θ₃=3θ、･･･、θ₈=8θとなる。
　No.3投稿で「ABCDEFGHIの８個の点」は、「BCDEFGHIの８個の点」の間違いでした。θ₁、θ₂、θ₃の場合は、θB、θC、θDと名付けてもよかったのです(B,C,Dは添え字)。しかし、数字は、番号順の意味があり、添え字も書きやすい見やすい下ツキの字体が使える。

majimelon37 · Answer

確認として、
1枚目の画像はz=a+ibを8乗した図で、
2枚目の画像はz=a+ib=1が5乗であるとき正五角形になる図でしょうか？

1枚目はその通りです。2枚目の画像は、z=a+ib=1ではなく、z=a+ibが5乗根で、zを５乗すると１になります。
z⁵=(a+ib)⁵=1です。

変数同士の関係をわかりやすくするためにr1やr2と置いたのでしょうか？＞
質問の趣旨が解りかねるので、貴方の考え方で進んで下さい。
私の意図は式②③④⑤で定義して、論理的に筋道を通して説明することに努力したものです。r₁とr₂は任意の二つの複素数をz₁とz₂として、その絶対値(動径)を|z₁|=r₁，|z₂|=r₂
と置いた。

majimelon37 · Answer

「z₃=z₁×z₂という式は、
z₂=r₂(cosθ₂+ｉsinθ₂)＝r₂ exp(ｉθ₂)のとき、z₁×z₂という式は、z₁を角θ₂だけ回転し、長さをr₂倍したものを表す。」となぜわかったのでしょうか？式を展開した事でわかったのでしょうか？どの部分からそうわかったのか気になります。>

No.3投稿の①②③④⑤⑥⑦⑧の式から、r₃= r₁r₂，θ₃=θ₁+θ₂であることがわかったから、これは、ｚ₁×z₂という式は、z₁を角θ₂だけ回転し、長さをr₂倍したものを表す。」とわかる。θ₁の図形を角θ₂だけ回転すれば、θ₃=θ₁+θ₂となる。長さr₁の図形をr₂倍すれば
長さr₁r₂となる。

zのみを使って書いたグラフが2枚目の画像でしょうか？>

2枚目の画像とはNo.5投稿の図ですね。この五角形はNo.5投稿に
「ｚ⁵=1の５個の根(図)は正五角形をなす。」と説明したように、ｚ⁵=1という方程式を解くと、正五角形が出て来るのです。詳しくは下記の記事を見て下さい。
https://blog.goo.ne.jp/mh0920-yh/e/ab3e5d9f70a27b9748780b0740c57cd0 
「１の5乗根」という言葉を検索しても出てきます。「１の5乗根」は解くのが複雑だけれど、1の4乗根は計算が簡単なので、まず、これの説明を書く。
ｚ⁴=1は、簡単に解ける。ｚ⁴=1は、ｚ⁴－1=0という方程式です。
この式はｚ⁴－1=(z－1)(z+1)(z－ｉ)(z+ｉ)=0と因数分解できます。
これを解くと、z=1,ｉ,－１、－ｉの４個の解がでます。この4個を、それぞれ、4乗すると、どれもｚ⁴=1を満足します。1⁴=1,ｉ⁴=1，(－1)⁴=1，(－ｉ)⁴=1。だから、z=1,ｉ,－１、－ｉの４個を１の4乗根といいます。
上記のz₂=r₂(cosθ₂+ｉsinθ₂)＝r₂ exp(ｉθ₂)の式で言えば、
ｉはr₂ =1、θ₂ =π/2ラジアン。θ₂を角度でいえば90°です。
ｉを掛けるとは、図形を90°回転することです。－１を掛けるとは、図形を180°回転することです。－ｉをを掛けるとは、図形を270°回転することです。これらの回転を続けて4回行うと、どの場合も、図形は元の位置にもどります。
ｉは、ド・モアブルの公式で、r=1、θ=90°です。ｉ=cos90°+isin90°。
－ｉは、ド・モアブルの公式で、r=1、θ=270°です。－ｉ=cos270°+isin270°。
1,ｉ,－１、－ｉの４個をガウス平面上に描くと、正方形ができる。
１の5乗根は、ド・モアブルの公式でz=cos72°+isin72°です。このｚを通常ωと書く。
θ＝144°の時は、cosθ+isinθ=ω²となる。θ=144°など、72°の倍数も5乗根になる。
5次の分円方程式は次のようにして解ける。
ｚ⁵－1=0は(z－1)(2z²－(√5－1)z+2)(2z²+(√5+1)z+2)=0と因数分解できるから、
２次方程式 2z²－(√5－1)z+2=0を解くと、
ω＝(√５－1+ｉ√(10+2√5))/4＝cos72°+ｉsin72°≒0.3090+0.9511ｉ
である。
θ＝120°の時は3乗根であるが、これも、同じωという文字がよく使われている。
3次の分円方程式は次のように因数分解できるから、
ｚ³－1=(z－1)(z²+z+1)=0。２次方程式 z²+z+1=0を解くと、
ω=(－1+i√3)/2＝cos120°+ｉsin120°
6次の分円方程式を解いてみるのはいかがでしょうか。あまり問題なく解けるでしょう。

majimelon37 · Answer

なぜaとbを一つの変数zC置いたのでしょうか？それにより何がわかるのでしょうか？>
No.3の図では、ABCDEFGHIの８個の点を、それぞれ、z, z², z³, z⁴, z⁵, z⁶, z⁷, z⁸と表すことができた。ｚは一つの点をあらわす。z₃=z₁×z₂という式は、
z₂=r₂(cosθ₂+ｉsinθ₂)＝r₂ exp(ｉθ₂)のとき、z₁×z₂という式は、
z₁を角θ₂だけ回転し、長さをr₂倍したものを表す。
ｚ^n=1を分園方程式という。例えば、n=3のとき、ｚ³=1の３個の根
ｚ=1、(-1±ｉ√3)/2は正三角形をなす。ｚ⁴=1の４個の根ｚ=±1､±ｉは正方形をなす。ｚ⁵=1の５個の根(図)は正五角形をなす。ｚ＝tz₁+(1-t)z₂ (0≦t≦1)は、z₁,z₂を結ぶ線分を表す。ｚだけを使って、(aとbは使わないで)、いろいろな幾何の問題を解くことができます。さらに「等角写像」という言葉を検索すれば、複素関数を使った、いろいろな図形や、電界、磁界、流体の図が出て来ます。

majimelon37 · Answer

ちなみに、なぜzはa+bではなく、a+bi(複素数)として、置いたのでしょうか？

複素数は平面幾何学をすべて数式で計算できる方法です。z=a+biと書いたとき、aは横座標(x座標)、bは縦座標(y座標)です。x座標とy座標は、そのまま、たしてはいけないので、a+bではなくて、a+biとします。この方法は19世紀最大の数学者ガウスが考えたので、複素数の表す平面をガウス平面(複素平面とも)という。

majimelon37 · Answer

図で、Oは原点、点A(1,0)はｘ軸上にあり、OA=1である。点B(a,b)はｚ=a+biを表す点である。
zを極座標で表すと、a=r cosθ、b=r sinθ＿①　である。動径rと偏角θは、
△OABの辺OB=r、∠AOB=θである。
図で、ABCDEFGHIの８個の点は、それぞれ、z, z², z³, z⁴, z⁵, z⁶, z⁷, z⁸を表す。
二つの複素数z₁，z₂を極座標(r₁，θ₁)と(r₂，θ₂)で表したとき、z₁×z₂の掛け算の結果は、動径rは、積r₁×r₂となり、偏角は、θ₁+θ₂のたし算になるという法則があるので、
z, z², z³,･･･ , z⁸の動径はr, r², r³,･･･ , r⁸となり、偏角は、θ, 2θ, 3θ,･･･ , 8θとなる。
すると図に書いてある8個の三角形△OAB, △OBC,･･･,△OHIはすべて相似形で、原点の周りの中心角はすべて等しく、
∠AOB=θ、∠BOC=θ，･･･ , ∠HOI=θとなる。
動径rは積r₁×r₂となり、偏角θは和θ₁+θ₂となる法則は下記の計算により、証明される。
z₃=z₁×z₂を計算するとき、z₁= a₁+b₁i、z₂= a₂+b₂i、z₃= a₃+b₃i＿＿②とする。
式①を使うとa₁=r₁cosθ₁、b₁=r₁sinθ₁＿＿③　，a₂=r₂cosθ₂、b₂=r₂sinθ₂＿＿④
a₃=r₃cosθ₃、b₃=r₃sinθ₃＿＿⑤
式②を使ってz₃=z₁×z₂を計算すると、⑥となる。⑥に③④⑤を入れると、⑦となる。
z₃= a₃+b₃i =z₁×z₂=(a₁+b₁i)( a₂+b₂i)= a₁a₂－b₁b₂+ a₁b₂i +b₁a₂i＿＿⑥
r₃cosθ₃+r₃sinθ₃= r₁r₂(cosθ₁ cosθ₂－sinθ₁sinθ₂+cosθ₁sinθ₂i +sinθ₁cosθ₂i)
= r₁r₂((cosθ₁cosθ₂－sinθ₁sinθ₂)+(cosθ₁sinθ₂+sinθ₁cosθ₂)i)＿＿⑦
⑦はsin xとcosｘの加法定理を使うと⑧となる。
r₃(cosθ₃+ⅰsinθ₃)= r₁r₂(cos(θ₁+θ₂)+ⅰsin(θ₁+θ₂))＿＿⑧
式⑧は、両辺の実部、虚部を比較すると、r₃= r₁r₂，θ₃=θ₁+θ₂であることを示す。
r(cosθ+isinθ)を8乗すると、rを8個かけるとｒ⁸となり、θは8個たすと8θとなる。

z=r(cosθ+isinθ) (r＞0)とおくと ド・モアブルの定理より z^8=r^8(cos8

>凄いです。

ド・モアブルは

訂正：No.９の下式は、文字化けがありました。

すいません。

番号を付けずに(r(cosθ+isinθ))^8を展開する方法はあるのでしょうか？>

確認として、

「z₃=z₁×z₂という式は、

なぜaとbを一つの変数zC置いたのでしょうか？それにより何がわかるのでしょうか？>

ちなみに、なぜzはa+bではなく、a+bi(複素数)として、置いたのでしょうか？

図で、Oは原点、点A(1,0)はｘ軸上にあり、OA=1である。

似たような質問が見つかりました

関連するカテゴリからQ&Aを探す

デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング

マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング

z=r(cosθ+isinθ) (r＞0)とおくとド・モアブルの定理より z^8=r^8(cos8