この重積分の問題を解いていただけますでしょうか。 よろしくお願いします。

この重積分の問題を解いていただけますでしょうか。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： gamma1311 回答日時： 2019/05/06 20:29

どの段階までできたのですか？Dを見たらすぐ、「極座標へ変換」と気がつかなければなりません。

I=∫[0~2pi]{∫[1~2]{r^2+(rc)^2}*rdr}dφ....(*)
(c=cosφ　です。)
-------------
I=∫[0~2pi](15/4)*{1+c^2}dφ
=(15/4)*{2pi+4*(1/2)*(pi/2)}
=(45/4)pi.
※結果は計算ミスがあるかもしれません。重要なことは(*)を導くことです。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/05/07 00:35

x = r cosφ,

y = r sinφ　によって

D = { r(cosφ,sinφ) | 1≦r≦2, 0≦φ<2π },

I =∫∫(2x^2+y^2)dxdy
= ∫∫(2(r cosφ)^2 + (r sinφ)^2) rdrdφ
= ∫∫(r^3)(1+(cosφ)^2) drdφ
= ∫[1≦r≦2](r^3)dr ・ ∫[0≦φ<2π](1+(cosφ)^2)dφ
= (1/4)(2^4 - 1^4) ・ ∫[0≦φ<2π](1/2)(3+cos(2φ))dφ
= (15/4) ・ (1/2){ 3(2π - 0) + (1/2)(sin4π - sin0) }
= (45/4)π.

計算ミスは無いようですよ。