R ^2 から1点を除いた集合は連結であることの証明がよくわかりません。連結でないと仮定して背理法か

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質問者：gunmanofighter
質問日時：2019/05/15 00:39
回答数：2件

R ^2 から1点を除いた集合は連結であることの証明がよくわかりません。連結でないと仮定して背理法から導くのか、あるいは先に弧状連結であることを示してから定理 "弧状連結ならば連結" をつかって証明するのか、はたまたより便利な方法があるのか。詳しく教えていただけるとありがたいです。

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回答 (2件)

No.1

回答者：ありものがたり
回答日時：2019/05/15 01:09

どちらでも、好きなほうのやり方で！

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No.2ベストアンサー

回答者： uyama33
回答日時：2019/05/15 12:33

除く1点をXとする。

平面から、ｘ以外の点を2つ選び、P,Qとする
ｘを中心とする同心円で、Pを通るものと、Qを通るものをつくる
ｘとPを結ぶ線分とXとQを結ぶ線分を考える
同心円の一部と、直線状の線分をとって、P,Qを結ぶ道をつくる
これらのことを、(x､y)座標とｘを中心とする極座標で書いて見る
変数ｔ（０＜＝ｔ＜＝１として）で道　F（ｔ）を表現する
これで、弧状連結の状態となる。

あとは、省略

孤をきちんと表現することが、唯一の問題だと思う。
直接P、Qを結ぶ線分を作ると、除外する点ｘを通ってしまう可能性があるので
安全な道を作ること。