数学についてです。 写真の問題の極限値を求めてください。 よろしくお願いします。

数学についてです。
写真の問題の極限値を求めてください。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/05/18 12:29

lim[x→0] (tanx-sinx)/x^3

=lim[x→0] (tanx-cosxtanx)/x^3
=lim[x→0] (tanx(1-cosx))/x^3
=lim[x→0] (tanx(1-cosx)(1+cosx))/((1+cosx)x^3)
=lim[x→0] (tanx(1-(cosx)^2))/((1+cosx)x^3)
=lim[x→0] (tanx(sinx)^2)/((1+cosx)x^3)
=lim[x→0] (sinx)^3/(cosx(1+cosx)x^3)
=lim[x→0] (sinx/x)^3 × (1/(cosx(1+cosx))

lim[x→0] (sinx/x)=1より、

=(1)^3 × (1/(cos0(1+cos0))
=1/2

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/05/19 10:01

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/05/18 14:10

ｘ→0 で 分母 = x^3 → 0, 分子 = (tan x) - (sin x) → 0 - 0 = 0.

0/0型の不定形なので、ロピタルの定理を使う。
(d/dx)分母 = 3x^2 → 0, (d/dx)分子 = 1/(cos x)^2 - (cos x) → 1 - 1 = 0.
これも0/0型の不定形なので、再度ロピタルの定理を使う。
(d/dx)^2 分母 = 6x → 0, (d/dx)^2 分子 = -2(-sin x)/(cos x)^3 - (-sin x) → 0 - 0 = 0.
またも0/0型の不定形なので、またまたロピタルの定理を使う。
(d/dx)^3 分母 = 6, (d/dx)^3 分子 = 2(cos x)/(cos x)^3 - 6(sin x)^2/(cos x)^4 + (cos x)
→ 2 - 0 + 1 = 3.
よって、与式 = 3/6 = 1/2.

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/05/19 10:01

No.2 回答者： gamma1311 回答日時： 2019/05/18 13:34

x=0 のまわりで分子を展開してみます。

tan(x)=x+x^3/3+(2/15)x^5+..., (|x|<pi/2),
ain(x)=x-x^3/3!+x^5/5!-...,
ですから、
x=0 でないとき、
{tan(x) - sin(x)}/x^3=1/2+(1/8)x^2+...
ですから、与式は1/2 となります。

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/05/19 10:01