この問題の答えと解き方を教えてください。 立方体に次の数の色を使って6つの面を塗り分ける。隣り合う面

この問題の答えと解き方を教えてください。

立方体に次の数の色を使って6つの面を塗り分ける。隣り合う面が同じ色にならないようにして塗る方法は何通りあるか。

①6色
②5色
③4色
④3色

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/05/20 02:11

誤字訂正

③ 色1,...,色4 を使います。
隣接する面が同じ色にならないためには、1つの色で 3面を塗ることはできません。
なので、2面塗る色が 2色、1面塗る色が 2色となります。この色の役割分担が 4C2通り。
役割分担が決まると、ある 1面に隣接する 4面を 2面用の色で交互に塗って、
残りの 2面を 1面用の色で塗るしかありませんから、立体の塗り方は (4C2)・1 = 6通り。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/05/20 02:07

色に番号をふって、赤とか青とかでなく、色1,色2,.. で識別しましょう。

① 色1,...,色6 を使います。
色6 が塗られた面に注目すると、隣接する 4面には色1,...,色5 の中から 4色が塗られています。
その並べ方は 5P4通りありますが、それらは 90°回転することで 4個づつが同じ塗り方とみなせます。
同じものを除くと (5P4)/4 通りです。残る 1面の色はまだ使ってないものに自動的に決まりますから、
結局、立方体の塗り方は (5P4)/4・1 = 30通り です。

② 色1,...,色5 を使います。
どこか 2面が同じ色で塗られ、それ以外の 4面はそれぞれ異なる色で塗られます。
同色で 2面塗る色の選び方が 5通り。その2面は隣接しないので、
同じ色で塗られた面の一方に注目して、それに隣接する面を①と同様に塗ると、
塗り方は (4P4)/4・1 = 6通り です。ただし、今回は同じ色で塗られた 2面の役割を交代して
ひっくり返したものも同じ塗り方とみなせますから、同じものを除くと 6/2 通りです。
2面塗る色選びを考慮して、立体の塗り方は 5・(6/2) = 15通り。

② 色1,...,色4 を使います。
隣接する面が同じ色にならないためには、1つの色で 3面を塗ることはできません。
なので、1面塗る色が 2色、1面塗る色が 2色となります。この色の役割分担が 4C2通り。
役割分担が決まると、ある 1面に隣接する 4面を 2面用の色で交互に塗って、
残りの 2面を 1面用の色で塗るしかありませんから、立体の塗り方は (4C2)・1 = 6通り。

④ 色1,...,色3 を使います。
色3 が塗られた面に注目すると、隣接する 4面には色1,色2 のどちらかが塗られています。
色1,色2 が隣接しないように塗る塗り方は、回転して同じになるものを除けば 1通りしかありません。
色3 の反対側の面は、自動的に色3に決まりますから、立体の塗り方は 1通り。

No.1 回答者： 難燃性燐寸 回答日時： 2019/05/19 17:53

どの面に注目しても、隣り合う面は4つ

つまり、5マスを違う色で塗るだけ