解答の過程を書いていただきたいです。 お願いします。

解答の過程を書いていただきたいです。

お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： gamma1311 回答日時： 2019/05/20 07:13

n=1, 2, .. のとき、

∫[0~2]x^n*e^xdx=[x^n*e^x] - n*∫[0~2]x^(n-1)*e^xdx より、
I[n]=(-2)^n*e^2/n! + I[n-1], I[0]=e^2 - 1.
これから、
I[1]=-e^2-1, I[2]=e^2-1, I[3]=-e^2/3 - 1, I[4]=e^2/3 - 1.
2) (1/n!)*∫[0~2]x^n*e^xdx≦(1/n!)*∫[0~2]e^2*x^ndx
=e^2*2^(n+1)/(n+1)!.
これが、2*e^2*(2/3)^(n-1) 以上となることは、2*3^(n-1)≦(n+1)! ...(*)なることと
同値。
すなわち、すべての自然数ｎについて(*)を示せばよい。
「数学的帰納法」によってください。