物理の問題が分かりません

質量m1,m2の物体が衝突したとき、衝突前後で2つの物体の重心 ベクトルx=(m1ベクトルx1+m2ベクトルx2)/2の速度は変化しないことを示せ

という問題が大学で出たのですが分かりません。高校で生物を履修していて物理がよく分かっていないので、丁寧に教えて頂けると嬉しいです。

No.1 回答者： konjii 回答日時： 2019/06/20 12:07

質量m₁,m₂の物体が衝突する前の合成運動量ベクトルはそれぞれの速度ベクトルをｘ₁↑、ｘ₂↑とすると

仮定からｍ₁ｘ₁↑＋ｍ₂ｘ₂↑です。２つの合成運動量ベクトルは重心を通り（平行四辺形の対角線の
交点）重心 ベクトルx↑＊２です。
従って、重心 ベクトルx↑＊２＝ｍ₁ｘ₁↑＋ｍ₂ｘ₂↑です。
衝突後、ｘ₁↑方向の運動量は保存されるのでｍ₂ｘ₂↑＝ｍ₁ｘ₁↑
　　　　ｘ₂↑方向の運動量も保存されるのでｍ₁ｘ₁↑＝ｍ₂ｘ₂↑となって
衝突後、重心 ベクトルx↑＊２＝ｍ₁ｘ₁↑＋ｍ₂ｘ₂↑です。
よって、衝突前の重心 ベクトルx↑＝(ｍ₁ｘ₁↑＋ｍ₂ｘ₂↑)/2
衝突後の重心 ベクトルx↑＝(ｍ₁ｘ₁↑＋ｍ₂ｘ₂↑)/2と変わりません。
重心 ベクトルx＝(m₁+m₂)x↑＝一定、x↑一定となります。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/06/20 12:12

まず基本事項（xは位置ベクトル)

平均の速度＝｛変位｝÷{時間}=Δx/Δt　（デルタは変化量を示す・・・例えばΔｔはｔの変化量の意味）
瞬間の速度は上式で時間Δｔを極めて短くしたもので　dx/dtとなる・・・(dは微小であることを示す。例えばdtは極めて短い時間tの意味）

本問では、ベクトルx,x1,x2は時刻ｔにおける重心、m1,m2の数直線上での位置を表わす位置ベクトルで、xがｔの関数になっています
従って、基本事項から重心、m1,m2の速度をv,v1,v2（v,v1,v2はベクトル）とすれば
v=dx/dt
v1=dx1/dt
v2=dx2/dt

また、重心の位置ベクトルは
x=(m1x1+m2x2)/(m1+m2)=(m1x1+m2x2)/M
ただし　M=m1+m2
これをｔで微分すれば
dx/dt=(d/dt){(m1x1+m2x2)/M}=(d/dt)(m1x1/M)+(d/dt)(m2x2/M)=(m1/M)(dx1/dt)+(m2/M)(dx2/dt)
⇔v=(m1/M)v1+(m2/M)v2=(m1v1+m2v2)/M…①


ここで、運動量というものを導入します　運動量とは物体の質量と速度ベクトルの積で表わされる物理量で
m1,m2それぞれの運動量をｐ１、ｐ２とすれば
p1=m1v1
p2=m2v2

この運動量の和p1+p2は、衝突の直前と直後で変わることはありません（運動量保存の法則）
→p1+p2=m1v1+m2v2=一定（衝突の前後で）
従ってm1v1+m2v2＝α（一定）とすれば①は
v=(m1v1+m2v2)/M=α/(m1+m2)=一定（変化しない）
ということになります。

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/06/20 12:14

ちなみに

重心 ベクトルx=(m1ベクトルx1+m2ベクトルx2)/2　の分母は2ですか？

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2019/06/20 15:06

衝突というのは、2つの物体間だけの「内力」しか働きませんので、「2つの物体」を「1つの系」とみなせば外部から見て何も運動の様子は変わりません。

つまり「2つの物体の重心」は衝突の前後で何の変化もなく運動を続けます。（外部から見れば、「2つの物体の系」は重心に全質量が集まっているもの」と同じですから）

衝突前の m1, m2 の位置ベクトルを →x1, →x2、その重心の位置ベクトルを →xg とすると、力のモーメントのつり合いから
　m1(→x1 - →xg) + m2(→x2 - →xg) = 0
→　m1*→x1 + m2*→x2 = (m1 + m2)*→xg
→　→xg = (m1*→x1 + m2*→x2)/(m1 + m2)
これより、衝突前の重心の速度 →vgは、m1, m2 の衝突前の速度を →v1, →v2として
　→vg = d(→xg)/dt = d[(m1*→x1 + m2*→x2)/(m1 + m2)]/dt
　　　= (m1*→v1 + m2*→v2)/(m1 + m2)　　　　　　　　　　　　　①
と表されます。
（d(→x1)/dt = →v1, d(→x2)/dt = →v2 なのはよいですね？）

同様に、衝突後の m1, m2 の位置ベクトルを →y1, →y2、その重心の位置ベクトルを →yg とすると、力のモーメントのつり合いから
　m1(→y1 - →yg) + m2(→y2 - →yg) = 0
→　m1*→y1 + m2*→y2 = (m1 + m2)*→yg
→　→yg = (m1*→y1 + m2*→y2)/(m1 + m2)
これより、衝突後の重心の速度 →ugは、m1, m2 の衝突後の速度を →u1, →u2として
　→ug = d(→yg)/dt = d[(m1*→y1 + m2*→y2)/(m1 + m2)]/dt
　　　= (m1*→u1 + m2*→u2)/(m1 + m2)　　　　　　　　　　　　　②


一方、2つの物体が衝突した場合には、衝突の前後で「運動量」が保存されます。つまり「衝突前後で運動量は変わらない、一定」ということです。式で表せば
　m1*→v1 + m2*→v2 = m1*→u1 + m2*→u2　　　　　　　　　　　　③

（蛇足）「運動方程式」F=ma は
　F = ma = m*dv/dt = d(mv)/dt
なので「運動量の時間変化が働く力に等しい」ということです。
「衝突」のように内力だけで外力が働かなければ F=0 ですので
　F = d(mv)/dt = 0
から
　mv = const
ということになります。これが「運動量保存」です。


①②③より、ダイレクトに
　→vg = →ug
であることが導かれます。