ある硬貨を投げると、表が出る確率が2/3でら裏が出る確率が1/3であるとする。この硬貨を繰り返し投げ

ある硬貨を投げると、表が出る確率が2/3でら裏が出る確率が1/3であるとする。この硬貨を繰り返し投げるとき、n回目に初めて表が2回続けて出る確率をPnとする。ただし、n>=2とする。
(1)P2,P3を求めよ。
(2)n>=2のとき、Pn+2をPn+1とPnを用いて表せ。(3)Pnを求めよ。

苦手分野です。どなたか教えていただけないでしょうか？

No.4 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/07/18 21:16

(１)P₂は表表と出る場合の確率なので、P₂＝2/3×2/3=4/9

P₃は裏表表と出る場合の確率なので、P₃＝1/3×2/3×2/3=4/27

(２)(ⅰ)ｎ回目の表、裏について考えます。
(n-1)回目に終了せずに継続して残ったものはすべて、ｎ回目には、表、裏の2通りに分かれるので、ｎ回目の表と裏の数は同数です。ただし、確率は、表の出る確率2/3、裏の出る確率1/3なので、表の出る確率は裏の出る確率の2倍になっています。1回目からｎ回目までこれを繰り返しているので、1回目からｎ回目まで継続し、ｎ回目に表が出るという事象の確率は、1回目からｎ回目まで継続し、ｎ回目に裏が出るという事象の確率の2倍になります。

(ⅱ)ｎ回目の表についてですが、ｎ回目で終了する表と継続する表があります。1回目からｎ回目まで継続し、ｎ回目に終了する表が出ている事象の確率はPnです。1回目からｎ回目まで継続し、ｎ回目も継続する表が出ている事象の確率をQnとすると、(n+1)回目も表が出ることで終了となりますので、Qn×2/3=P(n+1)、これより、Qn=3/2P(n+1)となります。1回目からｎ回目まで継続し、ｎ回目に裏が出ている事象の確率をRnとすると、(n+1)回目、(n+2)回目と続けて表が出ることで終了となりますので、Rn×2/3×2/3=P(n+2)、これより、Rn=9/4P(n+2)となります。

(ⅰ)、(ⅱ)より、2Rn=Pn+Qn となります。したがって、2×9/4P(n+2)=Pn+3/2P(n+1)
P(n+2)=1/3P(n+1)+2/9Pn・・・①

(３)①を変形して、次のように2通りで表します。
P(n+2)+1/3P(n+1)=2/3{P(n+1)+1/3Pn}・・・②
P(n+2)-2/3P(n+1)=-1/3{P(n+1)-2/3Pn}・・・③
②で、
P₃+1/3P₂=4/27+1/3×4/9=8/27
P(n+2)+1/3P(n+1)=(2/3)^(n-1)(P₃+1/3P₂)=8/27(2/3)^(n-1)=(2/3)^(n+2)・・・②´
③で、
P₃-2/3P₂=4/27-2/3×4/9=-4/27
P(n+2)-2/3P(n+1)=(-1/3)^(n-1)(P₃-2/3P₂)=(-4/27)(-1/3)^(n-1)=4(-1/3)^(n+2)・・・③´
②´－③´
P(n+1)=(2/3)^(n+2)-4(-1/3)^(n+2)={2^(n+2)-4(-1)^(n+2)}/3^(n+2)
したがって、
Pn={2^(n+1)-4(-1)^(n+1)}/3^(n+1)

No.3 回答者： tekcycle 回答日時： 2019/07/11 21:46

よくは知りませんが、ハッと目覚める確率、はどうでしょう。

https://www.amazon.co.jp/%E3%83%8F%E3%83%83%E3%8 …
苦手分野とまで判っているなら、あとは対策をするだけです。

解答をコレクションしたところで、学力はたぶん上がりません。
そりゃそうで、それで学力が上がるなら、問題集の問題と答えと解説を眺めていれば、こんなところでこんな質問をせずに済んでいるはずなのです。
必要なのは解答解説では無く、どうやったら解けるようになるのか、どういう順に勉強していくと良いのか、です。
また、試験会場で到底使えそうに無い解法では泣く、自分でもできる解法を身につけなければなりません。
場合の数は、難関中学入試でその手のことが出題されていて、難関大学に行く難関中高一貫校生はそこで徹底的に鍛えているんでしょう。
雑な解答が多いのは、一つにはそのためではと想像しています。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/07/09 03:59

「n 回目に始めて〇〇が起こる確率」は、

「n 回目までに〇〇が起こる確率」の階差と考えると上手くいくことが多い。
ここでも、n 回目までに表が2回続けて出ている確率を Q(n) と置く。

n+2 回目に初めて表が2回続けて出るとは、
n-1 回目までに表が2回続けて出ず、そのあと"裏表表"と出ることだから、
P(n+2) = ( 1 - Q(n-1) )(1/3)(2/3)^2 となっている。
P(n+2) = Q(n+2) - Q(n+1) なので、Q の漸化式
Q(n+2) - Q(n+1) = ( 1 - Q(n-1) )(4/27) が得られる。
漸化式の階差をとると、
P(n+2) - P(n+1) = ( - P(n-1) )(4/27).

初期条件は、
P(1) = 0 ； 1回目で表が2回出ることはない,
P(2) = (2/3)^2 ； "表表"が出る確率,
P(3) = (1/3)(2/3)^2 ； "裏表表"が出る確率
が使える。

定係数線型漸化式(4項間漸化式と呼ぶほうが好き？)だから、
型のごとく特性方程式 x^3 - x^2 = -(4/27) を解いて x = 2/3 (重根), -1/3
より、P(n) = (A+Bn)(2/3)^(n-1) + C(-1/3)^(n-1) ； A,B,Cは定数
と解ける。初期条件から A,B,C を決めると、
P(1) = (A+B) + C = 0,
P(2) = (A+2B)(2/3) + C(-1/3) = 4/9,
P(3) = (A+3B)(4/6) + C(1/9) = 4/27.
から
A = 8/13, B = -4/39, C = -20/39.

以上より、
P(n) = { (8/13) - (4/39)n }(2/3)^(n-1) - (20/39)(-1/3)^(n-1).

No.1 回答者： メキシコの爺ちゃん 回答日時： 2019/07/08 23:40

屁理屈確率計算だから。

硬貨は投げる時の上の面が、投げ終わって静止したときにでる。それだけ。