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マクローリンの展開式より
f(x)=f(0)+f'(0)x +f''(θx)/2x^2
である。
ただし、0<θ<1とする。
f(x)=cosxとすれば
f'(x)=-sinx,f''(x)=−cosxより
cosx=1-x^2/2cos(θ1x)
f(x)=sinxとすれば
f'(x)=cosx,f''(x)=-sinxより
sinx=x-x^2/2sin(θ2x)
となるのですが、
これは公式に当てはめたらなるのでしょうか?
本当にわからないので教えて頂きたいです。
という定義です。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
(ラグランジュ形の剰余項を持つ)二次のテイラーの定理は
f(x) が x=a と x=a+h を含む開区間で2回微分可能なら、
f(a+h) = f(a) + f’(a)h + {f’’(a+θh)/2}h^2 となる θ が 0<θ<1 の範囲に存在する
です。
これを、
f(x) = cos x, a = 0, a+h = x に適用すれば
cos x = 1 + 0x - (x^2/2)cos(θx) となり、
f(x) = sin x, a = 0, a+h = x に適用すれば
sin x = 0 + 1x - (x^2/2)sin(θx) となります。
「公式に当てはめる」という言い方は、個人的にあまり好きでありません。
(たぶん同じ意味でしょうが、)定理にあてはめれば、そのようになります。
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