上が問題で下が答えです。答えのところの赤マーク部分の意味がわかりません。なぜ互いに素だからといってp

上が問題で下が答えです。答えのところの赤マーク部分の意味がわかりません。なぜ互いに素だからといってp＝±1になるんですか？

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/08/04 11:00

左側の式変形を下まで見ると、

q^3 = p・{整数} となっていますね。
p は q^3 の約数になるのですが、
p と q は互いに素なので
そのような p の候補は ±1 しかありません。

この回答へのお礼

なるほど。割り切れてかつ互いに素なやつを探す。たしかに±1です！ありがとうございました！

お礼日時：2019/08/07 23:41

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/08/04 11:29

画像左下の式から

q³/p=-mq²-(m+8)qp-p³＝整数
q,pは互いに素と仮定しているので、当然q³とｐも互いに素
従って、q³/p＝整数
の左辺を約分することはできないから、２≦Pでは分母が残ってしまい左辺が整数にならない
ゆえにp=1
(・・・Pは自然数と言う仮定だから-1は入れませんでした）

この回答へのお礼

丁寧な説明ありがとうございました！わかりやすかったです。

お礼日時：2019/08/07 23:42

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2019/08/04 13:37

ｘ³＋ｍｘ²＋（ｍ＋８）ｘ＋１＝０（ｍ＝整数）でｘ＝α（有理数）の解を持つ。

（ｘ－α）（ｘ²＋ｂｘ＋ｃ）＝０
ｘ³＋（ｂ－α）ｘ²＋（ｃ－αｂ）ｘ－αｃ＝０
ｂ－α＝ｍ（整数）、ｃ－αｂ＝ｍ＋８（整数）、－αｃ＝１（整数）
α＝d/e(d,eは互いに素の整数、e≠０）
ｂe－d＝ｍe(m,d,e整数なので、bも整数）
ｂ（整数）－α＝ｍ（整数）なので、αは整数
また、ｃ－αｂ（整数）＝ｍ＋８（整数）なのでｃも整数
－αｃ（整数ｘ整数）＝１（整数）、α＝－１、ｃ＝１またはα＝１、ｃ＝－１
ｂ－α＝ｍ（整数）、ｃ－αｂ＝ｍ＋８（整数）から
ｃ－α(m+α)＝ｍ＋８
α＝－１、ｃ＝１の時解なし
α＝１、ｃ＝－１の時ｍ＝－５

この回答へのお礼

そうゆう考え方もあるんですね！ありがとうございました！

お礼日時：2019/08/07 23:42