自然数x,y、素数zに対して x^2+y^2=z^2 が成り立つ時、 (1)z-x/2,z-y/2の

自然数x,y、素数zに対して
x^2+y^2=z^2
が成り立つ時、
(1)z-x/2,z-y/2のいずれかは平方数であることを示せ。
(2)z=157のとき、x,yを求めよ。

どうやって解いたらいいのでしょうか？
どなたか教えてくださると助かります。

No.1 ベストアンサー 回答者： randomcreator 回答日時： 2019/08/07 21:14

ピタゴラス数を背景とする問題ですね。

少し難しいですね。

あと問題文は分かりやすく書いてください。問題としては(z-x)/2、(z-y)/2のいずれかは平方数であることを示すものですよね？

(1)
step.1「x,yは一方が奇数で、一方が偶数であることを示す（前準備）」
x,yが共に偶数だとzは偶数になるが、z=2となることがないのでzは素数とならない。よって、x,yが共に偶数なのはあり得ない。
x,yが共に奇数だとz^2は4で割ったあまりが2となるが、自然数の平方で4で割って2余ることはないので、zは存在しない。

よってx,yは一方が奇数で、一方が偶数である。

step.2「xが奇数の時、(z-x)/2が平方数であることを示す。」
xを奇数、yを偶数としても一般性は失われない。この場合、(z-x)/2が平方数であることを示す。

ここで、(z-x)/2と(z+x)/2の両方が平方数であることを示す。どちらか一方でも平方数でないと仮定する。

{(z-x)/2}*{(z+x)/2}=(z^2-x^2)/4=y^2/4=(y/2)^2となり、y/2は自然数より(z-x)/2と(z+x)/2の積は平方数となる。

よって、(z-x)/2と(z+x)/2は共通の素因数p≧2をもつ。よって、u<vを満たす自然数u,vを用いて(z-x)/2=up、(z+x)/2=vpとなるが、x,zについて解くと、x=(v-u)p,z=(v+u)pとなる。

この時、u+vは2以上の自然数、pも2以上の自然数よりzは素数ではない。

よって、(z-x)/2と(z+x)/2の両方が平方数でなければならない。つまりは(z-x)/2は平方数。

ちなみにyが奇数ならば、(z-y)/2は平方数です。

(2)

(1)の設定を使います。

(1)で(z-x)/2と(z+x)/2の両方が平方数でなければならないことが分かりましたので、自然数m,nを用いてm<nとして

(z-x)/2=m^2、(z+x)/2=n^2とおくと、x=n^2-m^2,y=2mn,z=m^2+n^2となります。

ここで、m^2+n^2=157を満たす自然数m,nを求めると、(m,n)=(6,11)となります。この時、x=85,y=132となります。

x,yは逆にしても良いので、(x,y)=(85,132),(132,85)となります。

この回答へのお礼

ありがとうございます！
問題文わかりづらくてすみませんでした

お礼日時：2019/08/07 23:13