6の解き方を教えてください。 数IIです。 答えは 4<m<8です。

6の解き方を教えてください。

数IIです。

答えは 4<m<8です。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2019/08/08 21:03

・実数解を持つ⇔判別式D≧0

・2つの解が1より大きい ⇒ 解の和>2、且つ、解の積>1

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2019/08/09 00:28

この手の問題は、グラフを書いてみると直感的に分かることが多いです。

y = x^2 - 2(m - 1)x + m + 5
　= [x - (m - 1)]^2 - (m - 1)^2 + m + 5
　= [x - (m - 1)]^2 - m^2 + 3m + 4　　　　　①

と書けば、このグラフは
・下に凸の放物線
・頂点は (m - 1, -m^2 + 3m + 4)
ということが分かります。

与えられた方程式の解は、①のグラフの x 軸との交点の x 座標ですから、このグラフの「x 軸との交点」が「２点」あって、その小さい方の交点が 1 < x であるという条件を見つければよいのです。

その条件は
(a) 頂点は x 軸よりも下にある。（そうでないと x 軸との交点を持たない）
(b) 頂点の x 座標は 1 よりも大きい。
(c) x=1 のとき y>0
あたりでしょうか。その他に何かあるかな？

(a) -m^2 + 3m + 4 < 0
→　m^2 - 3m - 4 = (m - 4)(m + 1) > 0
より
m < -1 または 4 < m

(b) 1 < m - 1
→　2 < m

(c) x=1 のとき
　y = 1 - 2(m - 1) + m + 5 = 1 - 2m + 2 + m + 5
　　= -m + 8 > 0
より
　m < 8

(a)～(c)を同時に満たすのは
　4 < m < 8