複素積分の時に、よく上半円で積分しますが、この時は上半円この時は下半円で積分するのような使い分けがあ

複素積分の時に、よく上半円で積分しますが、この時は上半円この時は下半円で積分するのような使い分けがあるのでしょうか？？

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/10/04 20:14

複素積分の時にというか、複素積分を使って実積分の値を求めるときに

そのような積分経路を考えることが多いですよね。
留数定理から閉路積分の値を求めて、その閉路の一部が目的の積分区間になっている
ような応用が典型的です。その場合、閉路のうち目的の積分区間でない部分での積分も
値が判らないと計算が終わりません。目的の積分区間でない部分での積分が 0 になる
ように閉路を選んでおくのが常道なのです。|z|→∞ のとき被積分関数が 1/|z|^2 よりも
速いオーダーで小さくなるのは z>0 の場合か z<0 の場合かを考えれば、
上半円と下半円のどちらを閉路とすべきかが判定できると思います。

No.1 回答者： han-ka-2 回答日時： 2019/10/04 14:49

無限遠点でその被積分関数がどういう挙動をするかによって，どの方向のどういう経路がいいかが決まるのではないですか。

たいていは，無限遠点で被積分関数の値がゼロになって欲しいでしょうから（実際の積分は実軸上だけのが欲しいだけだから），そうなるように経路を決定しますよ。例えば被積分関数に exp{α(t-s)} という関数がある場合，t>s のときはαの複素空間でαの虚数部が負の無限大のときに無限遠点の線積分がゼロになりますから，下半円で積分しますね。t<sの場合は上半円。