VII.1 (1)の解き方を教えてください！ 答えは 1/6× 5 -2 -1 -2 2 -2 -1

VII.1 (1)の解き方を教えてください！

答えは
1/6×
5 -2 -1
-2 2 -2
-1 -2 5

1/6×[3行3列]になるみたいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2019/11/09 21:23

平面 x+2y+z=0 の法線ベクトルとして (1,2,1) が取れるから、

R^3 の点 (p,q,r) を x+2y+z=0 へ正射影した像 (x,y,z) は
(x,y,z) = (p,q,r)+t(1,2,1) と書ける。　←[1]
これが x+2y+z=0 上にあるのだから、代入して
(p+t)+2(q+2t)+(r+t)=0 より t = -(p+2q+r)/6.　←[2]
[2]を[1]へ代入して、像は
(x,y,z) = (p,q,r)-{ (p+2q+r)/6 }(1,2,1)
= (1/6)(5p-2q-r,-2p+2q-2r,-p-2q+5r).　←[3]

[3]の係数を眺めれば、
(p,q,r) を (x,y,z) へ写す一次変換の表現行列は、
(1/6)かける
　　5　　-2　　-1
　　-2　　2　　-2
　　-1　　-2　　5.